辛同胚

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数学中,一个辛同胚symplectomorphism)是辛流形范畴中的一个同构

正式定义[编辑]

具体地,设 (M1, ω1) 与 (M2, ω2) 是辛流形。一个映射

f : M1M2

是一个辛同胚如果它是一个微分同胚且 ω2f 下的拉回等于 ω1

f^{*}\omega_2 = \omega_1.\,

辛同胚的例子包括经典力学理论物理中的典范变换,与任何哈密顿函数相伴的余切丛上由流形的微分同胚诱导的映射,以及李群的一个余伴随轨道在一个群元素下的余伴随作用。

例子[编辑]

  • \mathbf{R}^n 中的平移是辛同胚。

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由定义,辛流形上任何光滑函数给出一个哈密顿向量场,且这样向量场的集合组成辛向量场李代数的一个子代数。一个辛向量场的流的积分是一个辛同胚。因为辛同胚保持辛 2-形式,从而也保持辛体积,于是有哈密顿力学中的刘维尔定理。由哈密顿向量场生成的辛同胚也成为哈密顿辛同胚。

因为

{H,H} = XH(H) = 0,

哈密顿向量场的流也保持 H。在物理学中这解释为能量守恒。

如果一个连通辛流形的第一个贝蒂数等于零,辛向量场与哈密顿向量场重合,所以哈密顿同痕与辛同痕的概念重合。

测地线的方程可以表述为一个哈密顿流The equations for a geodesic may be formulated as a Hamiltonian flow)。

(哈密顿)辛同胚群[编辑]

从一个流形到自身的辛同胚组成一个无限维伪群。相应的李代数由辛向量空间组成。哈密顿辛同胚形成一个子群,它的李代数由哈密顿向量场给出。后者同构于光滑函数关于流形上泊松括号的李代数模去常数。

班亚嘎Banyaga)的一个定理,哈密顿微分同胚群是单群。它们有由霍弗尔范数Hofer norm)给出的自然几何。某些简单辛四维流形(比如球面的乘积)的辛同胚群的同伦型可用伪全纯曲线格罗莫夫定理计算出来。

与黎曼几何比较[编辑]

不像黎曼几何,辛流形不是非常具有刚性:达布定理说明所有辛流形是局部同构的。与之对比地说,黎曼几何中的等距必须保持黎曼曲率张量,这是黎曼流形的一个局部不变量。而且,辛流形上任何函数 H 定义了一个哈密顿向量场 XH,其指数映射为哈密顿微分拓扑的单参数群。从而辛同胚群总是非常大的,无穷维。另一方面,黎曼流形的等距群总是一个(有限维)李群。进一步,具有大对称群的黎曼流形是非常特别的,一般黎曼流形没有非平凡对称。

量子化[编辑]

量 辛同胚的有限维子群(一般在 \hbar-形变后)在希尔伯特空间上的表示称为子化。当李群是由一个哈密顿量定义的,它称为一个“由能量量子化”。从李代数到连续线性算子李代数对应的算子通常也称为量子化;这是物理学中更常见的方式。参见外尔量子化几何量子化非交换几何

阿诺尔德猜想[编辑]

阿诺尔德的一个著名猜想是关于 M 上一个哈密顿辛同胚 f不动点的最小数,当 M 是一个闭流形变为莫尔斯理论。更确切地,此猜想说 f 起码不少于 M 上一个光滑函数的奇点个数(理解为“一般”情形,莫尔斯函数,这是有至少为 2 的有限数)。

这个猜想可由阿诺尔德-吉文特尔猜想得出。后者是以阿诺尔德与亚历山大·吉文特尔Alexander Givental)命名的,它是关于拉格朗日子流形的一个论断。通过构造辛弗洛尔同调Floer homology),这在许多情形已经被证明了。

另见[编辑]


参考文献[编辑]

辛同胚群:
  • Gromov, M. Pseudoholomorphic curves in symplectic manifolds. Invent. Math. 82 (1985), no. 2, 307--347.
  • Polterovich, Leonid. The geometry of the group of symplectic diffeomorphism. Basel ; Boston : Birkhauser Verlag, 2001.