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辛同胚

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數學中,一個辛同胚symplectomorphism)是辛流形範疇中的一個同構

正式定義

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具體地,設 (M1, ω1) 與 (M2, ω2) 是辛流形。一個映射

f : M1M2

是一個辛同胚如果它是一個微分同胚且 ω2f 下的拉回等於 ω1

辛同胚的例子包括經典力學理論物理中的典範變換,與任何哈密頓函數相伴的餘切叢上由流形的微分同胚誘導的映射,以及李群的一個余伴隨軌道在一個群元素下的余伴隨作用。

例子

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  • 中的平移是辛同胚。

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由定義,辛流形上任何光滑函數給出一個哈密頓向量場,且這樣向量場的集合組成辛向量場李代數的一個子代數。一個辛向量場的流的積分是一個辛同胚。因為辛同胚保持辛 2-形式,從而也保持辛體積,於是有哈密頓力學中的劉維爾定理。由哈密頓向量場生成的辛同胚也成為哈密頓辛同胚。

因為

{H,H} = XH(H) = 0,

哈密頓向量場的流也保持 H。在物理學中這解釋為能量守恆。

如果一個連通辛流形的第一個貝蒂數等於零,辛向量場與哈密頓向量場重合,所以哈密頓同痕與辛同痕的概念重合。

測地線的方程可以表述為一個哈密頓流英語Geodesics as Hamiltonian flows

(哈密頓)辛同胚群

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從一個流形到自身的辛同胚組成一個無限維偽群。相應的李代數由辛向量空間組成。哈密頓辛同胚形成一個子群,它的李代數由哈密頓向量場給出。後者同構於光滑函數關於流形上泊松括號的李代數模去常數。

班亞嘎英語Augustin Banyaga的一個定理,哈密頓微分同胚群是單群。它們有由霍弗爾範數(Hofer norm)給出的自然幾何。某些簡單辛四維流形(比如球面的乘積)的辛同胚群的同倫型可用偽全純曲線格羅莫夫定理計算出來。

與黎曼幾何比較

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不像黎曼幾何,辛流形不是非常具有剛性:達布定理說明所有辛流形是局部同構的。與之對比地說,黎曼幾何中的等距必須保持黎曼曲率張量,這是黎曼流形的一個局部不變量。而且,辛流形上任何函數 H 定義了一個哈密頓向量場 XH,其指數映射為哈密頓微分拓撲的單參數群。從而辛同胚群總是非常大的,無窮維。另一方面,黎曼流形的等距群總是一個(有限維)李群。進一步,具有大對稱群的黎曼流形是非常特別的,一般黎曼流形沒有非平凡對稱。

量子化

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量 辛同胚的有限維子群(一般在 -形變後)在希爾伯特空間上的表示稱為子化。當李群是由一個哈密頓量定義的,它稱為一個「由能量量子化」。從李代數到連續線性算子李代數對應的算子通常也稱為量子化;這是物理學中更常見的方式。參見外爾量子化幾何量子化非交換幾何

阿諾爾德猜想

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阿諾爾德的一個著名猜想是關於 M 上一個哈密頓辛同胚 f不動點的最小數,當 M 是一個閉流形變為莫爾斯理論。更確切地,此猜想說 f 起碼不少於 M 上一個光滑函數的奇點個數(理解為「一般」情形,莫爾斯函數,這是有至少為 2 的有限數)。

這個猜想可由阿諾爾德-吉文特爾猜想得出。後者是以阿諾爾德與亞歷山大·吉文特爾英語Alexander Givental命名的,它是關於拉格朗日子流形的一個論斷。通過構造辛弗洛爾同調,這在許多情形已經被證明了。

另見

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參考文獻

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辛同胚群:
  • Gromov, M. Pseudoholomorphic curves in symplectic manifolds. Invent. Math. 82 (1985), no. 2, 307--347.
  • Polterovich, Leonid. The geometry of the group of symplectic diffeomorphism. Basel ; Boston : Birkhauser Verlag, 2001.