在数学的分支泛函分析中,部分等距映射是希尔伯特空间之间的一种线性映射,它在核的正交补上的限制是一个等距映射。
其核的正交补称为始子空间,其值域称为终子空间。本文中,算子
的始、终子空间分别记作
。
一般定义[编辑]
部分等距的概念可以用其他等价的方式定义。设
是希尔伯特空间
的一个闭子集 ,而
是
上的等距映射,则我们可以定义
到
的一个扩张
,
在
的正交补上的值为零。因此,部分等距有时也被定义在闭集上局部定义了的等距映射。
基于*-半群,可以用更为抽象的方式来定义部分等距(以及投影),该定义与上文的定义是重合的。
有限维情况的特性[编辑]
在有限维向量空间中,矩阵
是一个部分等距当且仅当
是到其支撑集的投影。相比之下,等距映射的定义是更强的:矩阵
是一个等距映射当且仅当
。换句话说,等距对称是一种单射的部分等距映射。
通过选择适当的基,任何有限维的部分等距映射都可以表示为形如
的矩阵,也就是说,其前
列表示了一个等距映射,而所有其他列则都为零。
注意对于任何等距映射
,其埃尔米特共轭
都是一个部分等距映射,尽管并非每个部分等距映射都具有这种形式。
算子代数[编辑]
在算子代数中,可用下面的方式[需要更深入解释]引入始子空间和终子空间:
![{\displaystyle {\mathcal {I}}W:={\mathcal {R}}W^{*}W,\,{\mathcal {F}}W:={\mathcal {R}}WW^{*}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b935c0bcf2268c220a5feee86896ca0ed0eb2f0a)
C*-代数[编辑]
对于C*-代数,由于C*-性质,存在等价链:
![{\displaystyle (W^{*}W)^{2}=W^{*}W\iff WW^{*}W=W\iff W^{*}WW^{*}=W^{*}\iff (WW^{*})^{2}=WW^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1df0abc6398de43d2332f63f263b875ba20d04)
因此可由上式中的任意一条来定义部分等距,而到始、终子空间的投影分别为
。
一对按等价关系划分[需要更深入解释]的投影:
![{\displaystyle P=W^{*}W,\,Q=WW^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e64505e750fb0ab56a1d06eb6dfb8dfa0dcffd93)
它在C*-代数的K-理论和冯诺依曼代数中的Murray-冯诺依曼投影理论中发挥着重要作用。
几类重要的部分等距映射[编辑]
投影算子[编辑]
任何正交投影算子都是始、终子空间为同一子空间的部分等距:
![{\displaystyle P:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}:\quad {\mathcal {I}}P={\mathcal {F}}P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f21dafc573077f335cdce69dae20e989306616)
嵌入映射[编辑]
任何等距嵌入映射都是始子空间为全空间的部分等距:
![{\displaystyle J:{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}J={\mathcal {H}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e15a451f500617b3094bf456fe47a09a27891244)
幺正算子[编辑]
任何幺正算子都是始、终子空间为全空间的部分等距:
![{\displaystyle U:{\mathcal {H}}\leftrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}U={\mathcal {H}},\,{\mathcal {F}}U={\mathcal {K}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a220edd0b005192f038cb386ec8f4bb2c38ade63)
幂零矩阵[编辑]
在二维复希尔伯特空间上的矩阵
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f2c2adffe3e1a938568783836cd8125f9b407c8)
是一个部分等距,其始子空间为
![{\displaystyle \{0\}\oplus \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8c652cf4479defde4c3f6df110cc61013dbae92)
而终子空间为
![{\displaystyle \mathbb {C} \oplus \{0\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d396c6f7d799f78cfb26c32873f6df446b5a84)
一般有限维示例[编辑]
有限维中的其他可能例子有
![{\displaystyle A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\0&0&0\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52d5cf844af8671c31ca6b993d7beb95e1edca60)
这显然不是等距映射,因为列之间不正交。然而,它的支撑集是
![{\displaystyle \mathbf {e} _{1}\equiv (1,0,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b50f2a92be6581b626f13119baf529f8718929f)
和
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})\equiv (0,1/{\sqrt {2}},1/{\sqrt {2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd71e04d06704e07e4d1ce47a15566bf5f07431)
的
线性生成空间,若将
![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
限制在这个空间上,就得到一个等距映射(特别地,也是一个幺正算子)。类似地,可以验证
![{\displaystyle A^{*}A=\Pi _{\operatorname {supp} (A)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d218b3e32d4d2aa34ead3eab216269a953a3d700)
,也就是说
![{\displaystyle A^{*}A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e11e97df5a2c7e9c34416af7209e20c55db10ace)
是到其支撑集上的投影。部分等距不一定对应于
方阵。例如,
![{\displaystyle A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd208b3c3625da8c10a210e7aca93f469d9ae9ac)
该矩阵的支撑集由
![{\displaystyle \mathbf {e} _{1}\equiv (1,0,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b50f2a92be6581b626f13119baf529f8718929f)
和
张成,并在该子空间上成为一等距映射(特别地,是其上的
恒等映射)。
还有一个例子
![{\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/357ec27f2cf1153d904845909e7d566729513903)
这次
![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
在其支撑集上表现为一个非平凡的等距映射。
容易验证
以及
,这表明了
在其支撑集
与其值域
间的等距性质。
左平移和右平移[编辑]
平方可和序列空间上的左平移和右平移算子
![{\displaystyle R:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ):(x_{1},x_{2},\ldots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/881e7ac9535226e1a8d1157631f17b2af38ca17f)
![{\displaystyle L:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ):(x_{1},x_{2},\ldots )\mapsto (x_{2},x_{3},\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c694f70486f7004def0477eb7a701e586ecb0bf4)
有下列关系
![{\displaystyle R^{*}=L.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c465e19ff6affa586ceefca2619fa79ad08a0373)
而左平移和右平移算子是部分等距映射,其始子空间由以下向量构成
![{\displaystyle LR(x_{1},x_{2},\ldots )=(x_{1},x_{2},\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6f447fa015df6acc10b52f92c44894c413531a9)
其终子空间则是:
![{\displaystyle RL(x_{1},x_{2},\ldots )=(0,x_{2},\ldots ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63e8a7322ee1a547b1062ea65d303ff9dbb26582)
参考资料[编辑]
- Conway, John Bligh. A course in operator theory. Providence, R.I: American Mathematical Society. 1999. ISBN 0-8218-2065-6.
- Carey, R. W.; Pincus, J. D. An Invariant for Certain Operator Algebras. Proceedings of the National Academy of Sciences. May 1974, 71 (5): 1952–1956. Bibcode:1974PNAS...71.1952C. PMC 388361
. PMID 16592156. doi:10.1073/pnas.71.5.1952
.
- Paterson, Alan L. T. Groupoids, inverse semigroups, and their operator algebras. Boston: Birkhäuser. 1999. ISBN 0-8176-4051-7.
- Lawson, Mark V. Inverse semigroups: the theory of partial symmetries. Singapore New Jersey London: World Scientific. 1998. ISBN 981-02-3316-7.
- Stephan Ramon Garcia; Matthew Okubo Patterson; Ross, William T. Partially isometric matrices: A brief and selective survey. 2019. arXiv:1903.11648
[math.FA].
外部链接[编辑]