在数学的分支泛函分析中,部分等距映射是希尔伯特空间之间的一种线性映射,它在核的正交补上的限制是一个等距映射。
其核的正交补称为始子空间,其值域称为终子空间。本文中,算子
的始、终子空间分别记作
。
部分等距的概念可以用其他等价的方式定义。设
是希尔伯特空间
的一个闭子集 ,而
是
上的等距映射,则我们可以定义
到
的一个扩张
,
在
的正交补上的值为零。因此,部分等距有时也被定义在闭集上局部定义了的等距映射。
基于*-半群,可以用更为抽象的方式来定义部分等距(以及投影),该定义与上文的定义是重合的。
在有限维向量空间中,矩阵
是一个部分等距当且仅当
是到其支撑集的投影。相比之下,等距映射的定义是更强的:矩阵
是一个等距映射当且仅当
。换句话说,等距对称是一种单射的部分等距映射。
通过选择适当的基,任何有限维的部分等距映射都可以表示为形如
的矩阵,也就是说,其前
列表示了一个等距映射,而所有其他列则都为零。
注意对于任何等距映射
,其埃尔米特共轭
都是一个部分等距映射,尽管并非每个部分等距映射都具有这种形式。
在算子代数中,可用下面的方式[需要更深入解释]引入始子空间和终子空间:
![{\displaystyle {\mathcal {I}}W:={\mathcal {R}}W^{*}W,\,{\mathcal {F}}W:={\mathcal {R}}WW^{*}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b935c0bcf2268c220a5feee86896ca0ed0eb2f0a)
对于C*-代数,由于C*-性质,存在等价链:
![{\displaystyle (W^{*}W)^{2}=W^{*}W\iff WW^{*}W=W\iff W^{*}WW^{*}=W^{*}\iff (WW^{*})^{2}=WW^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1df0abc6398de43d2332f63f263b875ba20d04)
因此可由上式中的任意一条来定义部分等距,而到始、终子空间的投影分别为
。
一对按等价关系划分[需要更深入解释]的投影:
![{\displaystyle P=W^{*}W,\,Q=WW^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e64505e750fb0ab56a1d06eb6dfb8dfa0dcffd93)
它在C*-代数的K-理论和冯诺依曼代数中的Murray-冯诺依曼投影理论中发挥着重要作用。
任何正交投影算子都是始、终子空间为同一子空间的部分等距:
![{\displaystyle P:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}:\quad {\mathcal {I}}P={\mathcal {F}}P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f21dafc573077f335cdce69dae20e989306616)
任何等距嵌入映射都是始子空间为全空间的部分等距:
![{\displaystyle J:{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}J={\mathcal {H}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e15a451f500617b3094bf456fe47a09a27891244)
任何幺正算子都是始、终子空间为全空间的部分等距:
![{\displaystyle U:{\mathcal {H}}\leftrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}U={\mathcal {H}},\,{\mathcal {F}}U={\mathcal {K}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a220edd0b005192f038cb386ec8f4bb2c38ade63)
在二维复希尔伯特空间上的矩阵
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f2c2adffe3e1a938568783836cd8125f9b407c8)
是一个部分等距,其始子空间为
![{\displaystyle \{0\}\oplus \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8c652cf4479defde4c3f6df110cc61013dbae92)
而终子空间为
![{\displaystyle \mathbb {C} \oplus \{0\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d396c6f7d799f78cfb26c32873f6df446b5a84)
有限维中的其他可能例子有
这显然不是等距映射,因为列之间不正交。然而,它的支撑集是
和
的线性生成空间,若将
限制在这个空间上,就得到一个等距映射(特别地,也是一个幺正算子)。类似地,可以验证
,也就是说
是到其支撑集上的投影。部分等距不一定对应于方阵。例如,
该矩阵的支撑集由
和
张成,并在该子空间上成为一等距映射(特别地,是其上的恒等映射)。
还有一个例子
这次
在其支撑集上表现为一个非平凡的等距映射。
容易验证
以及
,这表明了
在其支撑集
与其值域
间的等距性质。
平方可和序列空间上的左平移和右平移算子
![{\displaystyle R:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ):(x_{1},x_{2},\ldots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/881e7ac9535226e1a8d1157631f17b2af38ca17f)
![{\displaystyle L:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ):(x_{1},x_{2},\ldots )\mapsto (x_{2},x_{3},\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c694f70486f7004def0477eb7a701e586ecb0bf4)
有下列关系
![{\displaystyle R^{*}=L.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c465e19ff6affa586ceefca2619fa79ad08a0373)
而左平移和右平移算子是部分等距映射,其始子空间由以下向量构成
![{\displaystyle LR(x_{1},x_{2},\ldots )=(x_{1},x_{2},\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6f447fa015df6acc10b52f92c44894c413531a9)
其终子空间则是:
![{\displaystyle RL(x_{1},x_{2},\ldots )=(0,x_{2},\ldots ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63e8a7322ee1a547b1062ea65d303ff9dbb26582)
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[math.FA].