部分等距映射

在數學的分支泛函分析中，部分等距映射是希爾伯特空間之間的一種線性映射，它在核的正交補上的限制是一個等距映射。

其核的正交補稱為始子空間，其值域稱為終子空間。本文中，算子 $W$ 的始、終子空間分別記作 ${\mathcal {I}}W,{\mathcal {F}}W$ 。

一般定義

部分等距的概念可以用其他等價的方式定義。設 $H_{1}$ 是希爾伯特空間 $H$ 的一個閉子集，而 $U$ 是 $H_{1}$ 上的等距映射，則我們可以定義 $U$ 到 $H$ 的一個擴張 $W$ ， $W$ 在 $H_{1}$ 的正交補上的值為零。因此，部分等距有時也被定義在閉集上局部定義了的等距映射。

基於*-半群（英語：Semigroup with involution），可以用更為抽象的方式來定義部分等距（以及投影），該定義與上文的定義是重合的。

有限維情況的特性

在有限維向量空間中，矩陣 $A$ 是一個部分等距若且唯若 $A^{*}A$ 是到其支撐集的投影。相比之下，等距映射的定義是更強的：矩陣 $V$ 是一個等距映射若且唯若 $V^{*}V=I$ 。換句話說，等距對稱是一種單射的部分等距映射。

通過選擇適當的基，任何有限維的部分等距映射都可以表示為形如 $A={\begin{pmatrix}V&0\end{pmatrix}}$ 的矩陣，也就是說，其前 $\operatorname {rank} (A)$ 列表示了一個等距映射，而所有其他列則都為零。

注意對於任何等距映射 $V$ ，其埃爾米特共軛 $V^{*}$ 都是一個部分等距映射，儘管並非每個部分等距映射都具有這種形式。

算子代數

在算子代數中，可用下面的方式^{[需要更深入解釋]}引入始子空間和終子空間：

{\mathcal {I}}W:={\mathcal {R}}W^{*}W,\,{\mathcal {F}}W:={\mathcal {R}}WW^{*}.

C*-代數

對於C*-代數，由於C*-性質，存在等價鏈：

(W^{*}W)^{2}=W^{*}W\iff WW^{*}W=W\iff W^{*}WW^{*}=W^{*}\iff (WW^{*})^{2}=WW^{*}

因此可由上式中的任意一條來定義部分等距，而到始、終子空間的投影分別為 $W^{*}W,WW^{*}$ 。

一對按等價關係劃分^{[需要更深入解釋]}的投影：

P=W^{*}W,\,Q=WW^{*}

它在C*-代數的K-理論和馮諾依曼代數中的Murray-馮諾依曼投影理論中發揮着重要作用。

幾類重要的部分等距映射

投影算子

任何正交投影算子都是始、終子空間為同一子空間的部分等距：

P:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}:\quad {\mathcal {I}}P={\mathcal {F}}P

嵌入映射

任何等距嵌入映射都是始子空間為全空間的部分等距：

J:{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}J={\mathcal {H}}

么正算子

任何么正算子都是始、終子空間為全空間的部分等距：

U:{\mathcal {H}}\leftrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}U={\mathcal {H}},\,{\mathcal {F}}U={\mathcal {K}}

例子

冪零矩陣

在二維復希爾伯特空間上的矩陣

{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}

是一個部分等距，其始子空間為

\{0\}\oplus \mathbb {C}

而終子空間為

\mathbb {C} \oplus \{0\}.

一般有限維示例

有限維中的其他可能例子有 $A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\0&0&0\end{pmatrix}}.$ 這顯然不是等距映射，因為列之間不正交。然而，它的支撐集是 $\mathbf {e} _{1}\equiv (1,0,0)$ 和 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})\equiv (0,1/{\sqrt {2}},1/{\sqrt {2}})$ 的線性生成空間，若將 $A$ 限制在這個空間上，就得到一個等距映射（特別地，也是一個么正算子）。類似地，可以驗證 $A^{*}A=\Pi _{\operatorname {supp} (A)}$ ，也就是說 $A^{*}A$ 是到其支撐集上的投影。部分等距不一定對應於方陣。例如， $A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}.$ 該矩陣的支撐集由 $\mathbf {e} _{1}\equiv (1,0,0)$ 和 $\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\equiv (0,1,1)$ 張成，並在該子空間上成為一等距映射（特別地，是其上的恆等映射）。

還有一個例子 $A={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},$ 這次 $A$ 在其支撐集上表現為一個非平凡的等距映射。

容易驗證 $A\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}$ 以及 $A\left({\frac {\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}}{\sqrt {2}}}\right)=\mathbf {e} _{1}$ ，這表明了 $A$ 在其支撐集 $\operatorname {span} (\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\})$ 與其值域 $\operatorname {span} (\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\})$ 間的等距性質。

左平移和右平移

平方可和序列空間上的左平移和右平移算子

R:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ):(x_{1},x_{2},\ldots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\ldots )

L:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ):(x_{1},x_{2},\ldots )\mapsto (x_{2},x_{3},\ldots )

有下列關係

R^{*}=L.

而左平移和右平移算子是部分等距映射，其始子空間由以下向量構成

LR(x_{1},x_{2},\ldots )=(x_{1},x_{2},\ldots )

其終子空間則是：

RL(x_{1},x_{2},\ldots )=(0,x_{2},\ldots ).

參考資料

Conway, John Bligh. A course in operator theory. Providence, R.I: American Mathematical Society. 1999. ISBN 0-8218-2065-6.
Carey, R. W.; Pincus, J. D. An Invariant for Certain Operator Algebras. Proceedings of the National Academy of Sciences. May 1974, 71 (5): 1952–1956. Bibcode:1974PNAS...71.1952C. PMC 388361 . PMID 16592156. doi:10.1073/pnas.71.5.1952 .
Paterson, Alan L. T. Groupoids, inverse semigroups, and their operator algebras. Boston: Birkhäuser. 1999. ISBN 0-8176-4051-7.
Lawson, Mark V. Inverse semigroups: the theory of partial symmetries. Singapore New Jersey London: World Scientific. 1998. ISBN 981-02-3316-7.
Stephan Ramon Garcia; Matthew Okubo Patterson; Ross, William T. Partially isometric matrices: A brief and selective survey. 2019. arXiv:1903.11648  [math.FA].

外部連結