動量算符

在量子力學裏，動量算符（英語：momentum operator）是一種算符，可以用來計算一個或多個粒子的動量。對於一個不帶電荷、沒有自旋的粒子，作用於波函數 $\psi (x)\,\!$ 的動量算符可以寫為

${\hat {p}}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\,\!$ ；

其中，${\hat {p}}\,\!$ 是動量算符，$\hbar \,\!$ 是約化普朗克常數，$i\,\!$ 是虛數單位，$x\,\!$ 是位置。

給予一個粒子的波函數 $\psi (x)\,\!$ ，這粒子的動量期望值為

$\langle p\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}(x){\hat {p}}\psi (x)\ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}(x){\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi (x)\ dx\,\!$ ；

其中，$p\,\!$ 是動量。

導引 1

對於一個非相對論性的自由粒子，位勢 $V(x)=0\,\!$ ，不含時薛丁格方程式表達為

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\ \psi (x)=E\psi (x)\,\!$ 。

其中，$\hbar \,\!$ 是約化普朗克常數，$m\,\!$ 是粒子的質量，$\psi (x)\,\!$ 是粒子的波函數，$x\,\!$ 是粒子的位置，$E\,\!$ 是粒子的能量。

這薛丁格方程式的解答 $\psi _{k}(x)\,\!$ 是一個平面波：

$\psi _{k}(x)=e^{ikx}\,\!$ ；

其中，$k\,\!$ 是波數，$k^{2}=2mE/\hbar ^{2}\,\!$ 。

根據德布羅意假說，自由粒子所表現的物質波，其波數與自由粒子動量的關係是

$p=\hbar k\,\!$ 。

自由粒子具有明確的動量 $p\,\!$ ，給予一個系綜許多相同的自由粒子系統。每一個自由粒子系統的量子態都一樣。標記粒子的動量算符為 ${\hat {p}}\,\!$ 。假若，對於這系綜內，每一個自由粒子系統的動量所作的測量，都得到同樣的測量值 $p\,\!$ ，那麼，不確定性 $\sigma _{p}=0\,\!$ ，這自由粒子的量子態是確定態，是 ${\hat {p}}\,\!$ 的本徵態，在位置空間(position space)裏，本徵函數為 $\psi _{k}\,\!$ ，本徵值為 $p\,\!$ ：

${\hat {p}}\psi _{k}(x)=p\psi _{k}(x)\,\!$ 。

換句話說，在位置空間裏，動量算符的本徵函數必須是自由粒子的波函數 $\psi _{k}(x)\,\!$ 。

為了要達到此目標，勢必要令

${\hat {p}}\psi _{k}(x)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi _{k}(x)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}e^{ikx}=\hbar ke^{ikx}=p\psi _{k}(x)\,\!$ 。

所以，可以認定動量算符的形式為

${\hat {p}}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\,\!$ 。

導引 2

在古典力學裏，動量是質量乘以速度：

$p=mv=m{\frac {dx}{dt}}\,\!$ 。

在量子力學裏，由於粒子的位置不是明確的，而是機率性的。所以，猜想這句話是以期望值的方式來實現：

$\langle p\rangle =m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle \,\!$ 。

那麼，用積分方程式來表達，

$\langle p\rangle =m{\frac {d}{dt}}\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}(x,\,t)x\Psi (x,\,t)\ dx\,\!$ ；

其中，$\Psi (x,\,t)\,\!$ 是波函數。

取微分於積分號下，

$\langle p\rangle =m\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}x\Psi +\Psi ^{*}{\frac {\partial x}{\partial t}}\Psi +\Psi ^{*}x{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\right)dx\,\!$ 。

由於 $x\,\!$ 只是一個位置的統計參數，不跟時間有關，

$\langle p\rangle =m\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}x\Psi +\Psi ^{*}x{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\right)dx\,\!$ 。(1)

含時薛丁格方程式為

$i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+V\Psi \,\!$ ；

其中， $V\,\!$ 是位勢。

其共軛複數為

$i\hbar {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi ^{*}}{\partial x^{2}}}-V\Psi ^{*}\,\!$ 。

將上述兩個方程式代入方程式 (1)，可以得到

${\begin{aligned}\langle p\rangle &={\frac {m}{i\hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi ^{*}}{\partial x^{2}}}x\Psi -V\Psi ^{*}x\Psi -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ^{*}x{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+\Psi ^{*}xV\Psi \right)dx\\&={\frac {\hbar }{i2}}\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\partial ^{2}\Psi ^{*}}{\partial x^{2}}}x\Psi -\Psi ^{*}x{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}\right)dx\\\end{aligned}}\,\!$ 。

使用分部積分法，并利用当x趋于无穷大时波函数$\Psi \,\!$趋于零的特性，有

$\int _{-\infty }^{\infty }\ {\frac {\partial ^{2}\Psi ^{*}}{\partial x^{2}}}x\Psi \ dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\ {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}\Psi \ dx-\int _{-\infty }^{\infty }\ {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}x{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\ dx\,\!$ ，(2)

$\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}x{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}\ dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\ dx-\int _{-\infty }^{\infty }\ {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}x{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\ dx\,\!$ 。(3)

方程式 (2) 與 (3) 的減差（使用分部積分法，并利用当x趋于无穷大时波函数$\Psi \,\!$趋于零的特性）

$(2)-(3)=\int _{-\infty }^{\infty }\ \left(-{\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}\Psi +\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\right)dx=2\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\ dx\,\!$ 。

所以，

$\langle p\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi \ dx\,\!$ 。

對於任意波函數 $\Psi \,\!$ ，這方程式都成立。因此，可以認定動量算符 ${\hat {p}}\,\!$ 為 ${\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\,\!$ 。

厄米算符

由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以，可觀察量 $O\,\!$ 的期望值是實值的：

$\langle O\rangle =\langle O\rangle ^{*}\,\!$ 。

對於任意量子態 $|\psi \rangle \,\!$ ，這關係都成立：

$\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}\,\!$ 。

根據伴隨算符的定義，假設 ${\hat {O}}^{\dagger }\,\!$ 是 ${\hat {O}}\,\!$ 的伴隨算符，則 $\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {O}}^{\dagger }|\psi \rangle \,\!$ 。因此，

${\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }\,\!$ 。

這正是厄米算符的定義。所以，表示可觀察量的算符 ${\hat {O}}\,\!$ ，都是厄米算符。

動量是一個可觀察量，動量算符應該也是厄米算符：選擇位置空間，量子態 $|\psi \rangle \,\!$ 的波函數為 $\psi (x)\,\!$ ，

${\begin{aligned}\langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\ dx=\left.{\frac {\hbar }{i}}\psi ^{*}\psi \right|_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\right)\psi \ dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi \left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi \right)^{*}\ dx=\langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {p}}^{\dagger }|\psi \rangle \\\end{aligned}}$ 。

對於任意量子態 $|\psi \rangle \,\!$ ，${\hat {p}}={\hat {p}}^{\dagger }\,\!$ 。所以，動量算符確實是一個厄米算符。

本徵值與本徵函數

假設，動量算符 ${\hat {p}}\,\!$ 的本徵值為 $p\,\!$ 的本徵函數是 $f_{p}(x)\,\!$ ：

${\hat {p}}f_{p}(x)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial f_{p}(x)}{\partial x}}=pf_{p}(x)\,\!$ 。

這方程式的一般解為，

$f_{p}(x)=f_{0}e^{ipx/\hbar }\,\!$ ；

其中，$f_{0}\,\!$ 是常數。

假設 $f_{p}(x)\,\!$ 的定義域是一個有限空間，從 $x=-L\,\!$ 到 $x=L\,\!$ ，那麼，可以將 $f_{p}(x)\,\!$ 歸一化：

$\int _{-L}^{L}\ f_{p}^{*}(x)f_{p}(x)\ dx=|f_{0}|^{2}\int _{-L}^{L}\ dx=|f_{0}|^{2}2L=1\,\!$ 。

$f_{0}\,\!$ 的值是 $1/{\sqrt {2L}}\,\!$ 。動量算符的本徵函數歸一化為 $f_{p}(x)={\frac {1}{\sqrt {2L}}}e^{ipx/\hbar }\,\!$ 。

假設 $f_{p}(x)\,\!$ 的定義域是無窮大空間，則 $f_{p}(x)\,\!$ 不是一個平方可積函數：

$\int _{-\infty }^{\infty }\ f_{p}^{*}(x)f_{p}(x)\ dx=|f_{0}|^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\ dx=\infty \,\!$ 。

動量算符的本徵函數不存在於希爾伯特空間內，不能直接地積分 $|f_{p}(x)|^{2}\,\!$ 於無窮大空間，來使 $f_{p}(x)\,\!$ 歸一化。

換另一種方法，設定 $f_{0}=1/{\sqrt {2\pi \hbar }}\,\!$ 。那麼，

$\int _{-\infty }^{\infty }\ f_{p1}^{*}(x)f_{p2}(x)\ dx={\frac {1}{2\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i(p1-p2)x/\hbar }\ dx=\delta (p1-p2)\,\!$ ；

其中，$\delta (p1-p2)\,\!$ 是狄拉克δ函數。

這性質不是普通的正交歸一性。稱這性質為狄拉克正交歸一性。因為這性質，動量算符的本徵函數是完備的。也就是說，任意波函數 $\psi (x)\,\!$ 都可以表達為本徵函數的線性組合：

$\psi (x)=\int _{-\infty }^{\infty }c(p)f_{p}(x)\ dp={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }c(p)e^{ipx/\hbar }\ dp\,\!$ ；

其中，係數 $c(p)\,\!$ 是

$c(p)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{p}^{*}(x)\psi (x)\ dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x)e^{-ipx/\hbar }\ dx\,\!$ 。

正則對易關係

位置算符與動量算符的交換算符，當作用於一個波函數時，有一個簡單的結果：

$[{\hat {x}},\ {\hat {p}}]\psi =({\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}})\psi =x{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial (x\psi )}{\partial x}}=i\hbar \psi \,\!$ 。

所以，$[{\hat {x}},\ {\hat {p}}]=i\hbar \,\!$ 。這關係稱為位置算符與動量算符的正則對易關係。由於兩者的正則對易關係不等於 0 ，位置與動量彼此是不相容可觀察量。${\hat {x}}\,\!$ 與 ${\hat {p}}\,\!$ 絕對不會有共同的基底量子態。一般而言，${\hat {x}}\,\!$ 的本徵態與 ${\hat {p}}\,\!$ 的本徵態不同。

根據不確定性原理，

$\Delta A\ \Delta B\geq \left|{\frac {\langle [A,\ B]\rangle }{2i}}\right|\,\!$ 。

由於 $x\,\!$ 與 $p\,\!$ 是兩個不相容可觀察量，$\left|{\frac {\langle [{\hat {x}},\ {\hat {p}}]\rangle }{2i}}\right|=\hbar /2\,\!$ 。所以，$x\,\!$ 的不確定性與 $p\,\!$ 的不確定性的乘積 $\Delta x\ \Delta p\,\!$ ，必定大於或等於 $\hbar /2\,\!$ 。