草稿:全纯泛函计算

在数学中，全纯泛函演算是基于全纯函数的一种泛函演算。也就是说其目标在于，对于给定的一个全纯函数 $f$ 和一个算子 $T$ ，我们希望构造一个运算符 $f(T)$ ，从而这自然地将 $f$ 的自变量从复数推广到算子。更准确地说，泛函演算根据 $f$ 来定义 $T$ 的谱点的邻域到有界算子的连续代数同态。

本文将讨论 $T$ 是某个巴拿赫空间上的有界线性算子的情况。特别地， $T$ 可以是具有复矩阵元的方阵，这种情况将用于阐述泛函演算并为一般性的构造所涉及的假设提供一些启发性的见解。

动机

为何需要更一般的泛函演算？

在本节中，我们假定 $T$ 是一个 $n\times n$ 的复数矩阵。

如果给定的函数 $f$ 是一些特别的函数，那么就有一些自然的方式来定义 $f(T)$ 。例如，如果

$f(z)=\sum _{i=0}^{m}a_{i}z^{i}$

是一个复多项式，那么可以简单地用 $T$ 代替 $z$ 并定义

$f(T)=\sum _{i=0}^{m}a_{i}T^{i}$

其中 $T^{0}=I$ ，即单位矩阵。这就是多项式泛函演算。它是从多项式环到 $n\times n$ 矩阵环的同态。

现在从多项式稍微延伸一些，考虑处处全纯（整函数）的 $f:C\to C$ ，它具有麦克劳林级数

$f(z)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}z^{i},$

模仿多项式的情况即可给出如下定义：

$f(T)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}.$

由于麦克劳林级数处处收敛，因此上述级数将在选定的算子范数中收敛。矩阵指数就是一个例子。将 $f(z)=e^{z}$ 的麦克劳林级数中的 $z$ 替换为 $T$ 得出

$f(T)=e^{T}=I+T+{\frac {T^{2}}{2!}}+{\frac {T^{3}}{3!}}+\cdots .$

「 $f$ 的麦克劳林级数处处收敛」这一要求是可以一定程度上放宽的。从上面可以明显看出，实际上只需要麦克劳林级数的收敛半径大于该算子的范数 $\|T\|$ 。可如此定义算子版本的函数 $f$ 因此会更多。然而，这还不太令人满意。例如，矩阵理论中的一个事实是，每个非奇异的 $T$ 都有一个对数 $S$ ，也就是说 $\exists S,e^{S}=T$ 。我们希望有一种泛函演算，它允许人们为任意非奇异的 $T$ 定义 $\ln(T)$ ，使其与我们所熟悉的 $S$ 一致。幂级数做不到这一点，比如我们现在考虑如下的对数函数的级数

$\ln(z+1)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-\cdots ,$

它仅收敛于开单位圆盘上。在级数中用 $T$ 代替 $z$ 无法为$T+I$ 可逆但 $\|T\|\geq 1$ 的情况定义出 $\ln(T+I)$ 。因此我们需要一种更通用的泛函演算。

泛函演算和谱

我们希望 $f(T)$ 有意义的必要条件是 $f$ 被定义在 $T$ 的谱上。例如，正规矩阵的谱定理指出正规矩阵都是可酉对角化的。从而当 $T$ 是正规算子时，我们可以给出 $f(T)$ 的一个定义。如果对于 $T$ 的某些特征值 $\lambda$ ，$f(\lambda )$ 没有定义， $f(T)$ 的定义就会遇到困难。

其他迹象也强化了「只有当 $f$ 在 $T$ 的谱上有定义时， $f(T)$ 才能被定义」这样的判断。如果 $T$ 不可逆，则 0 将是其特征值（别忘了在本节中 $T$ 是方阵）。由于自然对数在 0 处未定义，因此 $\ln(T)$ 无法自然地定义也是意料之中的了。事实也确实如此不存在一种定义来做到这一点。

再举个例子，对于

$f(z)={\frac {1}{(z-2)(z-5)}}$

一种计算 $f(T)$ 的合理方法似乎是

$f(T)=(T-2I)^{-1}(T-5I)^{-1}.\,$

但是，如果右侧的逆不存在，即 2 或 5 是 $T$ 的特征值时，此式则是未定义的。

对于给定的矩阵 $T$ ，其特征值决定了 $f(T)$ 可被定义的程度；即，对于 $T$ 的所有特征值 $\lambda$ ， $f(\lambda )$ 都须有定义。对于一般的有界算子，此条件转化为「 $f$ 须在 $T$ 的谱上有定义」。可以证明这个条件使得泛函演算映射（指的是前文提及的代数同态）得以具有某些理想的属性。

有界算子的泛函演算

谱 σ(T) 为浅蓝色，路径 γ 为红色。

当谱有多个连通分量和对应的路径 γ 时的情况。

当谱不是单连通时的情况。

设 $X$ 为复巴拿赫空间， $L(X)$ 是 $X$ 上的有界算子族。

回忆一下复分析中的柯西积分公式。令 $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ 在某个开集 $D\subset \mathbb {C}$ 上全纯，而 $\Gamma$ 是 $D$ 中的可求长的若尔当曲线，即有限长度的无自交的闭曲线。我们假定位于 $\Gamma$ 内部的点（即，使得 $\Gamma$ 关于 $z$ 的卷绕数为 1 的点）的集合 $U$ 满足 $U\subset D$ 。柯西积分公式即

$\forall z\in U,\quad f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \nolimits _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta .$

现在试着将这个公式推广到在 $L(X)$ （这也是一个巴拿赫空间）中取值的函数。柯西积分公式暗示了以下定义（姑且只是形式上写下这个式子，没有严格定义）：

$f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta ,$

其中 $(\zeta -T)^{-1}$ 称为是 $T$ 在 $\zeta$ 处的预解式。

假设已适当定义了在巴拿赫空间内取值的积分，则如此给出的泛函演算蕴含了以下必要条件：

1. 由于标量版本的柯西积分公式的适用对象是全纯的 $f$ ，我们料想巴拿赫空间情况也是如此：在巴拿赫空间 $L(X)$ 中取值的函数应该有一个对标于普通复变函数的全纯性的概念。
2. 由于预解式映射 $\zeta \mapsto (\zeta -T)^{-1}$ 在 $T$ 的谱 $\sigma (T)$ 的谱上无定义，因此若尔当曲线 $\Gamma$ 应是与 $\sigma (T)$ 不相交的。而预解式映射在 $\sigma (T)$ 的补集上是全纯的。那么，为了得到一个非平凡的泛函演算 $\Gamma$ 必须包围着（至少一部分）的 $\sigma (T)$ 。
3. 泛函演算应在这种意义上是良定义的： $f(T)$ 须独立于 $\Gamma$ 的选择。

泛函演算的完整定义如下： 对于$T\in L(X)$ ，定义

$f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int \nolimits _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta ,$

其中 $f$ 是在开集 $D\subset \mathbb {C}$ 上定义的全纯函数，且谱集 $\sigma (T)\subset D$ ；$\Gamma =\{\gamma _{1},\dots ,\gamma _{n}\}$ 是 $D$ 中这样的一系列不相交若尔当曲线的集合，其是一个“内部”集合 $U\supset \sigma (T)$ 的边界，并且每个作为边界 $\gamma _{i}$ 的都是定向了的（参见曲线的定向和可定向性）。

开集 $D$ 可以随 $f$ 变化，也不必是连通或单连通的，如右图所示。

接下来的小节将对定义中所涉及的一些概念进行更精确的说明，并展现 $f(T)$ 在给定假定下确实是良定义的。

巴拿赫空间值积分

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