草稿:全純泛函計算

在數學中，全純泛函演算是基於全純函數的一種泛函演算。也就是說其目標在於，對於給定的一個全純函數 $f$ 和一個算子 $T$ ，我們希望構造一個運算符 $f(T)$ ，從而這自然地將 $f$ 的自變量從複數推廣到算子。更準確地說，泛函演算根據 $f$ 來定義 $T$ 的譜點的鄰域到有界算子的連續代數同態。

本文將討論 $T$ 是某個巴拿赫空間上的有界線性算子的情況。特別地， $T$ 可以是具有復矩陣元的方陣，這種情況將用於闡述泛函演算並為一般性的構造所涉及的假設提供一些啟發性的見解。

動機

為何需要更一般的泛函演算？

在本節中，我們假定 $T$ 是一個 $n\times n$ 的複數矩陣。

如果給定的函數 $f$ 是一些特別的函數，那麼就有一些自然的方式來定義 $f(T)$ 。例如，如果

$f(z)=\sum _{i=0}^{m}a_{i}z^{i}$

是一個復多項式，那麼可以簡單地用 $T$ 代替 $z$ 並定義

$f(T)=\sum _{i=0}^{m}a_{i}T^{i}$

其中 $T^{0}=I$ ，即單位矩陣。這就是多項式泛函演算。它是從多項式環到 $n\times n$ 矩陣環的同態。

現在從多項式稍微延伸一些，考慮處處全純（整函數）的 $f:C\to C$ ，它具有麥克勞林級數

$f(z)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}z^{i},$

模仿多項式的情況即可給出如下定義：

$f(T)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}.$

由於麥克勞林級數處處收斂，因此上述級數將在選定的算子範數中收斂。矩陣指數就是一個例子。將 $f(z)=e^{z}$ 的麥克勞林級數中的 $z$ 替換為 $T$ 得出

$f(T)=e^{T}=I+T+{\frac {T^{2}}{2!}}+{\frac {T^{3}}{3!}}+\cdots .$

「 $f$ 的麥克勞林級數處處收斂」這一要求是可以一定程度上放寬的。從上面可以明顯看出，實際上只需要麥克勞林級數的收斂半徑大於該算子的範數 $\|T\|$ 。可如此定義算子版本的函數 $f$ 因此會更多。然而，這還不太令人滿意。例如，矩陣理論中的一個事實是，每個非奇異的 $T$ 都有一個對數 $S$ ，也就是說 $\exists S,e^{S}=T$ 。我們希望有一種泛函演算，它允許人們為任意非奇異的 $T$ 定義 $\ln(T)$ ，使其與我們所熟悉的 $S$ 一致。冪級數做不到這一點，比如我們現在考慮如下的對數函數的級數

$\ln(z+1)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-\cdots ,$

它僅收斂於開單位圓盤上。在級數中用 $T$ 代替 $z$ 無法為$T+I$ 可逆但 $\|T\|\geq 1$ 的情況定義出 $\ln(T+I)$ 。因此我們需要一種更通用的泛函演算。

泛函演算和譜

我們希望 $f(T)$ 有意義的必要條件是 $f$ 被定義在 $T$ 的譜上。例如，正規矩陣的譜定理指出正規矩陣都是可酉對角化的。從而當 $T$ 是正規算子時，我們可以給出 $f(T)$ 的一個定義。如果對於 $T$ 的某些特徵值 $\lambda$ ，$f(\lambda )$ 沒有定義， $f(T)$ 的定義就會遇到困難。

其他跡象也強化了「只有當 $f$ 在 $T$ 的譜上有定義時， $f(T)$ 才能被定義」這樣的判斷。如果 $T$ 不可逆，則 0 將是其特徵值（別忘了在本節中 $T$ 是方陣）。由於自然對數在 0 處未定義，因此 $\ln(T)$ 無法自然地定義也是意料之中的了。事實也確實如此不存在一種定義來做到這一點。

再舉個例子，對於

$f(z)={\frac {1}{(z-2)(z-5)}}$

一種計算 $f(T)$ 的合理方法似乎是

$f(T)=(T-2I)^{-1}(T-5I)^{-1}.\,$

但是，如果右側的逆不存在，即 2 或 5 是 $T$ 的特徵值時，此式則是未定義的。

對於給定的矩陣 $T$ ，其特徵值決定了 $f(T)$ 可被定義的程度；即，對於 $T$ 的所有特徵值 $\lambda$ ， $f(\lambda )$ 都須有定義。對於一般的有界算子，此條件轉化為「 $f$ 須在 $T$ 的譜上有定義」。可以證明這個條件使得泛函演算映射（指的是前文提及的代數同態）得以具有某些理想的屬性。

有界算子的泛函演算

譜 σ(T) 為淺藍色，路徑 γ 為紅色。

當譜有多個連通分量和對應的路徑 γ 時的情況。

當譜不是單連通時的情況。

設 $X$ 為復巴拿赫空間， $L(X)$ 是 $X$ 上的有界算子族。

回憶一下複分析中的柯西積分公式。令 $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ 在某個開集 $D\subset \mathbb {C}$ 上全純，而 $\Gamma$ 是 $D$ 中的可求長的若爾當曲線，即有限長度的無自交的閉曲線。我們假定位於 $\Gamma$ 內部的點（即，使得 $\Gamma$ 關於 $z$ 的卷繞數為 1 的點）的集合 $U$ 滿足 $U\subset D$ 。柯西積分公式即

$\forall z\in U,\quad f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \nolimits _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta .$

現在試著將這個公式推廣到在 $L(X)$ （這也是一個巴拿赫空間）中取值的函數。柯西積分公式暗示了以下定義（姑且只是形式上寫下這個式子，沒有嚴格定義）：

$f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta ,$

其中 $(\zeta -T)^{-1}$ 稱為是 $T$ 在 $\zeta$ 處的預解式。

假設已適當定義了在巴拿赫空間內取值的積分，則如此給出的泛函演算蘊含了以下必要條件：

1. 由於純量版本的柯西積分公式的適用對象是全純的 $f$ ，我們料想巴拿赫空間情況也是如此：在巴拿赫空間 $L(X)$ 中取值的函數應該有一個對標於普通複變函數的全純性的概念。
2. 由於預解式映射 $\zeta \mapsto (\zeta -T)^{-1}$ 在 $T$ 的譜 $\sigma (T)$ 的譜上無定義，因此若爾當曲線 $\Gamma$ 應是與 $\sigma (T)$ 不相交的。而預解式映射在 $\sigma (T)$ 的補集上是全純的。那麼，為了得到一個非平凡的泛函演算 $\Gamma$ 必須包圍著（至少一部分）的 $\sigma (T)$ 。
3. 泛函演算應在這種意義上是良定義的： $f(T)$ 須獨立於 $\Gamma$ 的選擇。

泛函演算的完整定義如下： 對於$T\in L(X)$ ，定義

$f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int \nolimits _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta ,$

其中 $f$ 是在開集 $D\subset \mathbb {C}$ 上定義的全純函數，且譜集 $\sigma (T)\subset D$ ；$\Gamma =\{\gamma _{1},\dots ,\gamma _{n}\}$ 是 $D$ 中這樣的一系列不相交若爾當曲線的集合，其是一個「內部」集合 $U\supset \sigma (T)$ 的邊界，並且每個作為邊界 $\gamma _{i}$ 的都是定向了的（參見曲線的定向和可定向性）。

開集 $D$ 可以隨 $f$ 變化，也不必是連通或單連通的，如右圖所示。

接下來的小節將對定義中所涉及的一些概念進行更精確的說明，並展現 $f(T)$ 在給定假定下確實是良定義的。

巴拿赫空間值積分

主條目：博赫納積分