倒数和发散

加性组合数学中，倒数和发散的正整数集

$S=\{s_{0},s_{1},s_{2},s_{3},\dots \}\subseteq \mathbb {N}$

是元素倒数的级数和发散的集合，即满足

${\frac {1}{s_{0}}}+{\frac {1}{s_{1}}}+{\frac {1}{s_{2}}}+{\frac {1}{s_{3}}}+\cdots =\infty .$

下文简称“大集”。与之相反，倒数和收敛的集合，元素倒数和有限，下文简称“小集”。

如此区分集合的大小，见于蒙兹-萨斯定理和埃尔德什等差数列猜想。

例

如无另外声明，集合皆由正整数构成。

• 有限集必为小集。
• 全体正整数集$\{1,2,3,4,5,\dots \}$是大集。换言之，全体正整数的倒数和（称为调和级数）发散。推而广之，任何等差数列（即形如$\{a+nd:n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}\}$的集合，其中$a,d$皆为正整数）皆是大集。
• 全体平方数的集合是小集（其倒数和为$\pi ^{2}/6$）。立方数、四次方数等亦然。更一般地，任何二次以上的正整数系数多项式取值的集合必为小集。
• $2$的幂组成的集合$\{1,2,4,8,\ldots \}$是小集。对任何等比数列（即形如$\{ar^{n}:n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}\}$的集合，其中$a,r$皆为正整数，且$r\geq 2$）也有同样的结论。
• 质数集已证明为大集（见素数的倒数之和）。相反，孪生质数集已证明为小集（见布朗常数），不过仍未知是否有无穷多对孪生质数。
• 虽然质数集为大，质数真幂（即$p^{n}$，其中$n\geq 2$，$p$为质数）的集合为小。此性质常用于解析数论。一般地，完全$n$次方数的集合为小，甚至全体幂数（质因子皆高于一次的数）亦组成小集。
• 任意b进制下，不含某数字的数的集合也是小集。例如十进制中，不含数字7的数集
  $$\{1,2,\dots ,5,6,8,9,\dots ,15,16,18,19,\dots ,65,66,68,69,80,81,\dots \}$$
  是小集。此类集合的倒数和称为肯普纳级数。
• 若集合的上密度非零，则必为大。

性质

• 小集的子集仍是小集。
• 有限个小集之并仍为小，因为两个收敛级数之和仍收敛。用集合论术语复述，即小集组成理想。
• 任意小集的补集为大集。
• 蒙兹-萨斯定理断言，集合$S=\{s_{1},s_{2},s_{3},\dots \}$为大，当且仅当由
  $$\{1,x^{s_{1}},x^{s_{2}},x^{s_{3}},\dots \}$$
  线性张成的多项式集，在闭区间的连续函数空间$C([a,b])$中稠密（关于一致范数拓扑）。此为斯通-魏尔施特拉斯定理的推广。

未解问题

艾狄胥提出一个著名问题，问不含任意长度等差数列的集合，是否必为小集。他为此悬赏3000美元，高于自己其他猜想，还开玩笑称赏金违反最低工资法。后来，悬赏升至5000美元。截至2021年，问题仍然未解。

一般地，给定某集合的定义，很难分辨该集合是大是小。仍有许多集合的倒数和未知是否收敛。

参见

• 倒数和列表

参考文献

• A. D. Wadhwa. An interesting subseries of the harmonic series [调和级数的有趣子级数]. American Mathematical Monthly. 1975, 82 (9): 931–933. JSTOR 2318503 （英语）.