下面是常用于正交曲线坐标系中的一些向量微积分公式。
- 本文对球坐标使用标准符号ISO 80000-2,它取代了ISO 31-11,(部分其他来源可能有着颠倒θ和φ的定义):
- 极角表示为θ:它是在z轴与连接原点和目标点的径向向量之间的角度。
- 方位角表示为φ:它是在x轴与径向向量在xy面上的投影之间的角度。
- 函数atan2(y, x)可以用于替代数学函数arctan(y/x)。这是由于它的定义域和像的缘故,经典arctan函数的像为(−π/2, +π/2),而atan2定义的像为(−π, π]。
在直角、圆柱和球坐标间的变换[1]
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从
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直角
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圆柱
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球
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到
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直角
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圆柱
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球
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在直角、圆柱和球坐标系间的单位向量转换,从目的坐标的角度。[1]
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直角
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圆柱
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球
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直角
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不适用
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圆柱
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不适用
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球
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不适用
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在直角、圆柱和球坐标系间的单位向量转换,从源坐标的角度。
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直角
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圆柱
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球
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直角
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不适用
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圆柱
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不适用
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球
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不适用
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在直角、圆柱和球坐标下的del算子的表格
运算
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直角坐标 (x, y, z)
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圆柱坐标 (ρ, φ, z)
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球坐标 (r, θ, φ),这里的θ是极角而φ是方位角α
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向量场 A
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梯度 ∇f[1]
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散度 ∇ ⋅ A[1]
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旋度 ∇ × A[1]
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拉普拉斯算子 ∇2f ≡ ∆f[1]
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向量拉普拉斯算子 ∇2A ≡ ∆A
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物质导数α[2] (A ⋅ ∇)B
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张量散度 ∇ ⋅ T
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微分位移 dℓ[1]
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微分正规面积 dS
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微分体积 dV[1]
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- ^α 本页对极角采用
对方位角采用
,这是在物理学中常用的符号。某些来源在这些公式中对方位角采用
对极角采用
,这是常用数学符号,如果需要这种数学公式,可对换上表公式中的
和
。
![{\displaystyle \operatorname {div} \,\operatorname {grad} f\equiv \nabla \cdot \nabla f\equiv \nabla ^{2}f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79071137542107afee5811f43b90891781a42e2c)
![{\displaystyle \operatorname {curl} \,\operatorname {grad} f\equiv \nabla \times \nabla f=\mathbf {0} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2524528406d8b5cb4c25eb670693c0db6e602e69)
![{\displaystyle \operatorname {div} \,\operatorname {curl} \mathbf {A} \equiv \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f23b06333ab36f02c4dbd039dc10ac8f35c4bd1)
(del的拉格朗日公式)
![{\displaystyle \nabla ^{2}(fg)=f\nabla ^{2}g+2\nabla f\cdot \nabla g+g\nabla ^{2}f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eae21e9cb36e42bbf96af96f9a0ce6889193a602)
和
的表达式可以同理得出。
注:第一式中的
是
在
时的量值,并非
值乘上
。以下圆柱座标、球座标的推导中亦然。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \mathbf {A} &=\lim _{V\to 0}{\frac {\iint _{\partial V}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} }{\iiint _{V}dV}}\\&={\frac {A_{\rho }(\rho +d\rho )(\rho +d\rho )d\phi dz-A_{\rho }(\rho )\rho d\phi dz+A_{\phi }(\phi +d\phi )d\rho dz-A_{\phi }(\phi )d\rho dz+A_{z}(z+dz)d\rho (\rho +d\rho /2)d\phi -A_{z}(z)d\rho (\rho +d\rho /2)d\phi }{\rho d\phi d\rho dz}}\\&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial (\rho A_{\rho })}{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{\phi }}{\partial \phi }}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf3792cca720251376f5501a62a593e64a0d0f1c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\operatorname {curl} \mathbf {A} )_{\rho }&=\lim _{S^{\perp {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}\to 0}{\frac {\int _{\partial S}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {\ell } }{\iint _{S}dS}}\\&={\frac {A_{\phi }(z)(\rho +d\rho )d\phi -A_{\phi }(z+dz)(\rho +d\rho )d\phi +A_{z}(\phi +d\phi )dz-A_{z}(\phi )dz}{(\rho +d\rho )d\phi dz}}\\&=-{\frac {\partial A_{\phi }}{\partial z}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \phi }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f37cf456851cfa7c93d9ae9898f7dbb436aae3a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\operatorname {curl} \mathbf {A} )_{\phi }&=\lim _{S^{\perp {\boldsymbol {\hat {\phi }}}}\to 0}{\frac {\int _{\partial S}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {\ell } }{\iint _{S}dS}}\\&={\frac {A_{z}(\rho )dz-A_{z}(\rho +d\rho )dz+A_{\rho }(z+dz)d\rho -A_{\rho }(z)d\rho }{d\rho dz}}\\&=-{\frac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}+{\frac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f92fcf737ee08f31b2f179bfe3775b67266c0dd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\operatorname {curl} \mathbf {A} )_{z}&=\lim _{S^{\perp {\boldsymbol {\hat {z}}}}\to 0}{\frac {\int _{\partial S}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {\ell } }{\iint _{S}dS}}\\&={\frac {A_{\rho }(\phi )d\rho -A_{\rho }(\phi +d\phi )d\rho +A_{\phi }(\rho +d\rho )(\rho +d\rho )d\phi -A_{\phi }(\rho )\rho d\phi }{\rho d\rho d\phi }}\\&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{\rho }}{\partial \phi }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial (\rho A_{\phi })}{\partial \rho }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adf372d90d4d2cc7ff30ff3672490cb164be9db1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {A} &=(\operatorname {curl} \mathbf {A} )_{\rho }{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+(\operatorname {curl} \mathbf {A} )_{\phi }{\hat {\boldsymbol {\phi }}}+(\operatorname {curl} \mathbf {A} )_{z}{\hat {\boldsymbol {z}}}\\&=\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \phi }}-{\frac {\partial A_{\phi }}{\partial z}}\right){\hat {\boldsymbol {\rho }}}+\left({\frac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right){\hat {\boldsymbol {\phi }}}+{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial (\rho A_{\phi })}{\partial \rho }}-{\frac {\partial A_{\rho }}{\partial \phi }}\right){\hat {\boldsymbol {z}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb5dcdf4fa3d239d7ee4a688194c43b00de16da)
坐标参数u的单位向量以如下方式定义,u的小的正值改变导致位置向量
在
方向上的改变。因此:
![{\displaystyle {\partial {\boldsymbol {\vec {r}}} \over \partial u}={\partial {s} \over \partial u}{\boldsymbol {\hat {u}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c856e872960419084eaac4e1f109e30871336b91)
这里的s是弧长参数。
对于两组坐标系
和
,依据链式法则:
![{\displaystyle d{\boldsymbol {\vec {r}}}=\sum _{i}{\partial {\boldsymbol {\vec {r}}} \over \partial u_{i}}du_{i}=\sum _{i}{\partial {s} \over \partial u_{i}}{\boldsymbol {\hat {u_{i}}}}du_{i}=\sum _{j}{\partial {s} \over \partial v_{j}}{\boldsymbol {\hat {v_{j}}}}dv_{j}=\sum _{j}{\partial {s} \over \partial v_{j}}{\boldsymbol {\hat {v_{j}}}}\sum _{i}{\partial {v_{j}} \over \partial u_{i}}du_{i}=\sum _{i}\sum _{j}{\partial {s} \over \partial v_{j}}{\partial {v_{j}} \over \partial u_{i}}{\boldsymbol {\hat {v_{j}}}}du_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8b47d4a549b589b43e4271810170cbb4248cb72)
现在,使除了一个之外的所有
并在两边除以对应的坐标参数的微分,得到:
![{\displaystyle {\partial {s} \over \partial u_{i}}{\boldsymbol {\hat {u_{i}}}}=\sum _{j}{\partial {s} \over \partial v_{j}}{\partial {v_{j}} \over \partial u_{i}}{\boldsymbol {\hat {v_{j}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026934a82e192513fd8cc5550d5efb7abcef9e3c)