下面是常用于正交曲线坐标系中的一些向量微积分公式。
- 本文对球坐标使用标准符号ISO 80000-2,它取代了ISO 31-11,(部分其他来源可能有着颠倒θ和φ的定义):
- 极角表示为θ:它是在z轴与连接原点和目标点的径向向量之间的角度。
- 方位角表示为φ:它是在x轴与径向向量在xy面上的投影之间的角度。
- 函数atan2(y, x)可以用于替代数学函数arctan(y/x)。这是由于它的定义域和像的缘故,经典arctan函数的像为(−π/2, +π/2),而atan2定义的像为(−π, π]。
在直角、圆柱和球坐标间的变换[1]
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从
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直角
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圆柱
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球
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到
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直角
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圆柱
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球
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在直角、圆柱和球坐标系间的单位向量转换,从目的坐标的角度。[1]
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直角
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圆柱
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球
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直角
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不适用
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圆柱
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不适用
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球
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不适用
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在直角、圆柱和球坐标系间的单位向量转换,从源坐标的角度。
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直角
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圆柱
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球
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直角
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不适用
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圆柱
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不适用
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球
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不适用
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在直角、圆柱和球坐标下的del算子的表格
运算
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直角坐标 (x, y, z)
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圆柱坐标 (ρ, φ, z)
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球坐标 (r, θ, φ),这里的θ是极角而φ是方位角α
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向量场 A
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梯度 ∇f[1]
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散度 ∇ ⋅ A[1]
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旋度 ∇ × A[1]
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拉普拉斯算子 ∇2f ≡ ∆f[1]
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向量拉普拉斯算子 ∇2A ≡ ∆A
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物质导数α[2] (A ⋅ ∇)B
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张量散度 ∇ ⋅ T
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微分位移 dℓ[1]
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微分正规面积 dS
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微分体积 dV[1]
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- ^α 本页对极角采用对方位角采用,这是在物理学中常用的符号。某些来源在这些公式中对方位角采用对极角采用,这是常用数学符号,如果需要这种数学公式,可对换上表公式中的和。
- (del的拉格朗日公式)
和的表达式可以同理得出。
注:第一式中的是在时的量值,并非值乘上。以下圆柱座标、球座标的推导中亦然。
坐标参数u的单位向量以如下方式定义,u的小的正值改变导致位置向量在方向上的改变。因此:
这里的s是弧长参数。
对于两组坐标系和,依据链式法则:
现在,使除了一个之外的所有并在两边除以对应的坐标参数的微分,得到: