在数学上,以法国数学家奥古斯丁·路易·柯西命名的柯西乘积,是指两组数列
的离散卷积。
![{\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/398c98db070e6215552309fd6e44b8c1b5741c1a)
该数列乘积被认为是自然数
的半群环的元素。
一个特别重要的例子是考虑两个严格的形式级数(不需要收敛)
:
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n},\qquad \sum _{n=0}^{\infty }b_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fff28010de5494108873e54ebf27eb2b0499cd72)
一般地,对于实数和复数,柯西乘积定义为如下的离散卷积形式:
- 这里
![{\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k},\,n=0,1,2,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35a30aacf4867c11c9bb7e72aa645b35c02c5186)
“形式”是指我们对级数运算时不考虑是否收敛,参见形式幂级数。
人们希望,通过对两组级数做实际卷积的有限和的类推,得到无穷级数
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/660636efa7996ec54b9d206684855b65e814eca4)
等于如下乘积:
![{\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/090833008298d01d002a7405f58e3441888e4baa)
就如同两个数列的和是有限范围一样做乘法。
在充分良态的情况下,上述式子成立。而更重要的一点,尽管这两个无穷级数可能不收敛,它们的柯西乘积仍可能存在。
对于
、
,有
,
即为有穷级数,则
和
柯西乘积可以展开为
,因此可以直接计算乘积。
- 对某些
,构造
和
,由定义和二项式展开可知:
![{\displaystyle C(x,y)(n)=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a^{i}}{i!}}{\frac {b^{n-i}}{(n-i)!}}={\frac {(a+b)^{n}}{n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463285eb78027f2549a9badace0c2549e915a0bd)
形式上,
,
,我们已表明
。由于该两个绝对收敛数列的柯西乘积等于两个数列极限的乘积,(见下面的证明),因此我们就可证明这个表达式对于
有
- 另外一个例子,令
(
),则
对所有
成立,则柯西乘积
,该乘积不收敛。
令x, y为实数数列,弗兰兹·梅尔滕斯(Franz Mertens)提出,如果级数
收敛到Y,且级数
绝对收敛到X,则他们的柯西乘积
收敛到XY。
对于两个级数为条件收敛时,结论未必成立。如下反例所示:
考虑下述两交错级数:
![{\displaystyle a_{n}=b_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n+1}}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ab7d707a714812f5ef0feec9cf54c889c307f1c)
它们都是收敛的(其绝对值构成的级数因比较审敛法和调和级数的发散性而发散)。其柯西乘积的项由下式给出:
![{\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{\sqrt {k+1}}}\cdot {\frac {(-1)^{n-k}}{\sqrt {n-k+1}}}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{\sqrt {(k+1)(n-k+1)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ec628049543be77dd043af3d42cc33d7bac74f)
其中整数 n ≥ 0。因为对于所有 k ∈ {0, 1, ..., n} 我们都有不等式 k + 1 ≤ n + 1 及 n – k + 1 ≤ n + 1,故对分母中的根式有 √(k + 1)(n − k + 1) ≤ n +1。因此,由于共有 n + 1 个被加项,故对于所有的整数 n ≥ 0有
![{\displaystyle |c_{n}|\geq \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{n+1}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d587c30534dda6f2104b7af8f5e98d8520d46781)
因此,cn 在 n → ∞ 时并不趋于 0,级数 ∑ cn 发散(项测试)。
令
,
,
,
(重排后)。
则
,对任意给定的 ε > 0,因为
绝对收敛,
收敛,因此存在一个整数N,对于任意n ≥ N
,和存在一个正整数M,对于所有
,有
(由级数绝对收敛,则式子收敛到0),同样的,存在一个整数L ,如果有
,则
。
因此,对于所有n大于N, M, L,有:
![{\displaystyle |C_{n}-XY|=|\sum _{i=0}^{n}(Y_{i}-Y)x_{n-i}+Y(X_{n}-X)|\leq \sum _{i=0}^{N-1}|Y_{i}-Y||x_{n-i}|+\sum _{i=N}^{n}|Y_{i}-Y||x_{n-i}|+|Y||X_{n}-X|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48add362c708bef5f7c696340ec7a71fa42a4854)
根据收敛的定义,即:
如果x,y是实数数列,且
,
,则有:
![{\displaystyle {\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=0}^{n}C(x,y)_{n}\right)\to AB.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/968d19dae3a6f3baf6e5bf95cd15b28f58e2dde9)
所有上述证明也可推广到
复数级数。柯西乘积可以定义在乘法为内积的欧式空间
上。这种情况下,如果两组数列绝对收敛,则柯西乘积绝对收敛到数列极限的内积
。
我们可以定义柯西乘积为双向无限数列,视为
上的函数。这种情况并非总能定义柯西乘积。例如:常数级数1和其本身的柯西乘积,
。
有的有一些配对,比如任何级数与一个有限级数的乘积,
的乘积,这与Lp空间有关。