在同调代数中,群上同调是一套研究群及其表示的代数工具。群上同调源于代数拓扑,在代数数论上也有重要应用;它是现代类域论的基本构件之一。
群论中的指导思想之一,是研究群 及其表示的关系。群 的表示是 -模的特例:一个 -模是一个阿贝尔群 配上 在 上的群作用 。等价的说法是: 是群环 上的模。通常将 的作用写成乘法 。全体 -模自然地构成一个阿贝尔范畴。
对给定的 -模 ,最重要的子群之一是其 -不变子群
若 是一个 -子模(即:是 的子群,且在 的作用下不变),则 上赋有自然的 -模结构,,但是未必有 。第一个群上同调群 可以设想为两者间差异的某种量度。一般而言,可以定义一族函子 ,其间关系可以由长正合序列表示。
以下假设 为有限群,全体 -模构成阿贝尔范畴,其间的态射 定义为满足 的群同态 。由于此范畴等价于 -模范畴,故有充足的内射对象。
函子 是从 -模范畴映至阿贝尔群范畴的左正合函子。定义 为其导函子。根据导函子的一般理论,可知:
- 长正合序列:若 为 -模的短正合序列,则导出相应的长正合序列
在上述定义中,若固定一个域 ,并以 代替 ,得到的上同调群依然同构。
导出函子的定义来自内射分解,不便于具体计算。然而注意到 ,其中 被赋予平凡的 作用:,故群上同调可以用Ext函子表达为
另一方面,-模范畴中也有充足的射影对象,若取一 的射影分解 ,则有自然的同构 。最自然的分解是标准分解
而 由 给出。
定义 ,其元素为形如 的函数,并满足 ,称之为齐次上链。根据 在 上的作用,这种 由它在形如 的元素上的取值确定。借此,可将上链复形 描述为
- 的元素为 之函数。
其中的元素称为非齐次上链。
综上所述,得到 。
较常用的上同调是 与 。从标准分解可导出以下的描述:
准此要领,亦有
上述理论有一对偶版本:对于任一 -模 ,定义 为形如 的元素生成之子模。考虑从 -模范畴映至阿贝尔群范畴的函子
这是一个右正合函子,其导出函子称为为群同调 。群同调可以藉Tor函子描述为
对于有限群,群同调与群上同调可在塔特上同调群的理论下得到一贯的描述。
将上述定义中的 -模 改成一般的群 (未必交换),并带有 的作用 (称之为 -群)。此时仍然可以定义第零个及第一个群上同调:
须留意 并不是群,而是带有一个指定元素的集合(来自 的单位元),以下所谓的正合性,都应该在此意义下理解。
若 是 -群的短正合序列,则有长正合序列
若 落在 的中心,此序列右端可再加一项 。
若 为群同态,则可将任一 -模透过 视为 -模,此运算导出上同调之间的映射
此映射与群上同调的长正合序列相容。当 是 的子群而 是包含映射,导出的映射称为限制映射,记为 Res。
由于我们假设 为有限群,必有 ,此时映射
导出一个上限制映射 。
- 定理.
若 是平凡的 模(即 ),则 中的元素一一对应于 对 的中心扩张的等价类
中心扩张意谓: 是群扩张,而且 落在 的中心内。
具体描述方法是:任取一映射 。 不一定是群同态,但存在函数 使得 。 及 刻划了 的群结构。不难验证 满足 ,而 的选取对应于 ,所以 仅决定于唯一的一个中心扩张。反之,任一 都来自于某个中心扩张,证毕。
若 是 的正规子群,则有下述谱序列
对于射影有限群,此式依然成立。
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