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位置算符

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量子力学里,位置算符position operator)是一种量子算符。对应于位置算符的可观察量是粒子的位置。位置算符的本征值是位置向量。采用狄拉克标记,位置算符 的本征态 满足方程式

其中, 是本征值,是量子态为 的粒子所处的位置, 只是一个数值。

位置空间表现

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设定量子态 。量子态 的位置空间表现,即波函数,分别定义为

在位置空间里,定义算符

在位置空间里,使用连续本征态 所组成的基底,任意量子态 展开为

将量子算符 作用于量子态 ,可以得到

应用狄拉克正交归一性 ,这方程式与左矢 的内积为

量子态 的展开式为

应用狄拉克正交归一性,这方程式与左矢 的内积为

所以,两个波函数 之间的关系为

总结,位置算符 作用于量子态 的结果 ,表现于位置空间,等价于波函数 的乘积 。位置算符 的位置空间表现是位算符 ,可以称算符 为位置算符。

本征函数

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假设,在位置空间里,位置算符 本征值本征函数 。用方程式表达,[1]

这方程式的一般解为,

其中, 是常数,狄拉克δ函数

注意到 无法归一化

设定 ,函数 满足下述方程式:

这性质不是普通的正交归一性,这性质称为狄拉克正交归一性。因为这性质,位置算符的本征函数具有完备性,也就是说,任意波函数 都可以表达为本征函数的线性组合

虽然本征函数 所代表的量子态是无法实际体现的,并且严格而论,不是一个函数,它可以视为代表一种理想量子态,这种理想量子态具有准确的位置 ,因此,根据不确定性原理,这种理想量子态的动量均匀分布

期望值

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采用位置空间表现,设想一个移动于一维空间的量子粒子。在这里,希尔伯特空间是 ,是实值定义域平方可积函数的空间。[2]:11两个态向量的内积是

对于任意量子态 ,可观察量 的期望值为

位置算符 作用于量子态 的结果,表现于位置空间,等价于波函数 的乘积,所以,

粒子处于 微小区间内的机率是

粒子位置与机率的乘积在位置空间的积分,就是粒子位置的期望值。

三维案例

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推广至三维空间相当直截了当,参数为三维位置 的波函数为 ,位置的期望值[2]:41-42

其中, 是积分体积。

位置算符 的作用为

对易关系

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位置算符与动量算符的对易算符,当作用于波函数时,会得到一个简单的结果:

所以, 。这关系称为位置算符与动量算符的对易关系。由于两者的对易关系不等于 0 ,位置与动量彼此是不相容可观察量 绝对不会拥有共同的基底量子态。一般而言, 的本征态与 的本征态不同。

根据不确定性原理

由于 是两个不相容可观察量, 。所以, 的不确定性与 的不确定性的乘积 ,必定大于或等于

参考文献

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  1. ^ Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 17, 104–109. ISBN 0-13-111892-7. 
  2. ^ 2.0 2.1 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914