包络线

建立曲线族的包络线。

包络线（Envelope）是几何学里的概念，代表一条曲线与某个曲线族中的每条线都有至少一点相切。（曲线族即一些曲线的无穷集，它们有一些特定的关系。）

设一个曲线族的每条曲线$C_{s}$可表示为$t\mapsto (x(s,t),y(s,t))$，其中$s$是曲线族的参数，$t$是特定曲线的参数。若包络线存在，它是由$s\mapsto (x(s,h(s)),y(s,h(s)))$得出，其中$h(s)$以以下的方程求得：

${\frac {\partial y}{\partial h}}{\frac {\partial x}{\partial s}}={\frac {\partial y}{\partial s}}{\frac {\partial x}{\partial h}}$

若曲线族以隐函数形式 $F(x,y,s)=0$ 表示，其包络线的隐方程，便是以下面两个方程消去$s$得出。

${\begin{cases}F(x,y,s)=0\\{\frac {\partial F(x,y,s)}{\partial s}}=0\end{cases}}$

绣曲线是包络线的例子。直线族$(A-s)x+sy=(A-s)(s)$（其中$A$是常数，$s$是直线族的变数）的包络线为抛物线。[1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）

证明

设曲线族的每条曲线$C_{s}$为$t\mapsto (x(s,t),y(s,t))$。

设存在包络线。由于包络线的每点都与曲线族的其中一条曲线的其中一点相切，对于任意的$s$，设$(x(s,h(s)),y(s,h(s)))$表示$C_{s}$和包络线相切的那点。由此式可见，$s$是包络线的变数。要求出包络线，就即要求出$h(s)$。

在$C_{s}$的切向量为$<{\frac {\partial x}{\partial t}},{\frac {\partial y}{\partial t}}>$，其中$t=h(s)$。

在E的切向量为$<{\frac {dx}{ds}},{\frac {dy}{ds}}>$。因为$x$是$s$和$t$的函数，而此处$t=h(s)$，局部求导有：

${\frac {dx}{ds}}={\frac {\partial x}{\partial h}}{\frac {dh}{ds}}+{\frac {\partial x}{\partial s}}{\frac {ds}{ds}}={\frac {\partial x}{\partial h}}h'(s)+{\frac {\partial x}{\partial s}}$

类似地得 ${\frac {dy}{ds}}={\frac {\partial y}{\partial h}}h'(s)+{\frac {\partial y}{\partial s}}$。

因为$E$和$C_{s}$在该点相切，因此其切向量应平行，故有

${\frac {\partial x}{\partial t}}=\lambda ({\frac {\partial x}{\partial h}}h'(s)+{\frac {\partial x}{\partial s}})$

${\frac {\partial y}{\partial t}}=\lambda ({\frac {\partial y}{\partial h}}h'(s)+{\frac {\partial y}{\partial s}})$

其中$\lambda \neq 0$。可用此两式消去$h'(s)$。整理后得： ${\frac {\partial y}{\partial h}}{\frac {\partial x}{\partial s}}={\frac {\partial y}{\partial s}}{\frac {\partial x}{\partial h}}$

参考

• https://web.archive.org/web/20070621035057/http://www.math.neu.edu/~bridger/Envelope/envelope.htm

参见

• 克莱罗方程

外部链接

• Special Plane Curves: Envelope （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Envelopes of Lines and Circles （页面存档备份，存于互联网档案馆）