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反函数的微分

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公式:

例如任意的 :

数学上,可导双射函数反函数微分可由的导函数给出。若使用拉格朗日记法反函数[注 1]的导数公式为:

该表述等价于

其中 表示一元微分算子(在函数的空间上), 表示二元复合算子。

,则上式可用莱布尼兹符号写成:

换言之,函数及其反函数的导数均可逆[注 2],并且乘积为1。这是链式规则的直接结果,因为

相对于 的导数为1。

几何上,函数和反函数有关于直线 y = x.镜像的图像,这种映射将任何线的斜率变成其倒数

假设 的邻域有一个反函数并且它在该点的导数不为零,则它的反函数保证在 x 处是可微的,并有上述公式给出的导数。

反函数举例

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  • 为正)具有逆 中。

但是,在 x = 0有一个问题:平方根函数图像变为垂直的,相对应平方函数的水平切线。

  • ( 为实数)具有逆 为正值)

其他属性

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  • 对反函数积分有如下公式
[注 3]

可见,具有连续导数的函数(光滑函数)在其导数非零的每一点的邻域内都有反函数。如果导数不连续的,则上述积分公式不成立。

高阶导数

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上面给出的链式法则是通过对等式关于微分得到的。对于更高阶的导数,可以继续同样的过程。对恒等式对求导两次,得到

使用链式法则进一步简化为

用之前得到的恒等式替换一阶导数,得到

对三阶导数类似:

或者用二阶导数的公式,

这些公式是由Faa di Bruno公式推广。

这些公式也可以用拉格朗日表示法来表示。如果是互逆的,则

反函数的微分举例

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  • 有逆运算。使用反函数的二次导数公式,

于是,

,

与直接计算相同。

注释

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  1. ^ 的反函数,意思是若,则。准确定义请参阅反函数
  2. ^ 前提均存在
  3. ^ 这仅在积分存在的情况下适用。特别地,需要在整个积分范围内非零

参见

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