公式:
![{\displaystyle {\color {CornflowerBlue}{f'}}(x)={\frac {1}{{\color {Salmon}{(f^{-1})'}}({\color {Blue}{f}}(x))}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a941b01c07e3e5b9b25e089aa78e7650c51735)
例如任意的
:
![{\displaystyle {\color {CornflowerBlue}{f'}}(x_{0})={\frac {1}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/555a26634bc26c582b0b9c1f945fea1a89a4a48e)
數學上,可導雙射函數
的反函數微分可由
的導函數
給出。若使用拉格朗日記法,反函數
[註 1]的導數公式為:
![{\displaystyle \left[f^{-1}\right]'(a)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(a)\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0347bdeee0d3f1ccf902a27310a5e388d8665c73)
該表述等價於
![{\displaystyle {\mathcal {D}}\left[f^{-1}\right]={\frac {1}{({\mathcal {D}}f)\circ \left(f^{-1}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b71cf74aa5480ff9d43a9823ceb5580914f923a5)
其中
表示一元微分算子(在函數的空間上),
表示二元複合算子。
記
,則上式可用萊布尼茲符號寫成:
![{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f95e8b8db53babeadfae565759a5d9b5607efea8)
換言之,函數及其反函數的導數均可逆[註 2],並且乘積為1。這是鏈式規則的直接結果,因為
![{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1096e471b372542ca5bc21b6f6c144f030898b6)
而
相對於
的導數為1。
幾何上,函數和反函數有關於直線 y = x.鏡像的圖像,這種映射將任何線的斜率變成其倒數。
假設
在
的鄰域有一個反函數並且它在該點的導數不為零,則它的反函數保證在 x 處是可微的,並有上述公式給出的導數。
(
為正)具有逆
中。
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=2x{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{2x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52485cf58c23be2bcea9246cfedd3b6c2775d142)
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=2x\cdot {\frac {1}{2x}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91a37029e7ca0d81e754a7d58d14d812100a698d)
但是,在 x = 0有一個問題:平方根函數圖像變為垂直的,相對應平方函數的水平切線。
(
為實數)具有逆
(
為正值)
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{x}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a637f8a50643b148f8cece06e79a882aa254c3)
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=e^{x}\cdot {\frac {1}{y}}={\frac {e^{x}}{e^{x}}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1754e0ae192bedb64a5ce9dc957feaac9cc2910f)
[註 3]
可見,具有連續導數的函數(光滑函數)在其導數非零的每一點的鄰域內都有反函數。如果導數不連續的,則上述積分公式不成立。
上面給出的鏈式法則是通過對等式
關於
微分得到的。對於更高階的導數,可以繼續同樣的過程。對恆等式對
求導兩次,得到
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dx}{dy}}\right)\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/512056e99f776f242cbc6680d8c75f697ed6fd6a)
使用鏈式法則進一步簡化為
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f535bbb8d04a2686779a89491d57676f71fe21e3)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4379cd453116bdbd585925fa8d9ffab5c01abfe7)
用之前得到的恆等式替換一階導數,得到
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eebfa1389f66743679c683d94bf448f778c3725)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48ff4235a43616707da88851ec39b4d88f5e7b45)
對三階導數類似:
![{\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}-3{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/383e1766e928fe2c2f0c7b25b6ea9c543fc0efeb)
或者用二階導數的公式,
![{\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}+3\left({\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\right)^{2}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/162c75f07bff289683956ee0a22d7c403aba2155)
這些公式是由Faa di Bruno公式推廣。
這些公式也可以用拉格朗日表示法來表示。如果
和
是互逆的,則
![{\displaystyle g''(x)={\frac {-f''(g(x))}{[f'(g(x))]^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c374bf89ec0cde43e6ec3e86cbf86490e55f35d)
有逆運算
。使用反函數的二次導數公式,
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=e^{x}=y{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}=y^{3};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29b4fa01502ae29f8f86a41baa0ea327f35e646c)
於是,
,
與直接計算相同。