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数学归纳法

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数学归纳法(英语:Mathematical Induction MI)是一种数学证明方法,通常被用于证明某个给定命题在整个或者局部自然数范围内成立。除了自然数以外,广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构,例如:集合论中的。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑计算机科学领域,称作结构归纳法

虽然数学归纳法名字中有“归纳”,但是数学归纳法并非逻辑不严谨归纳推理法,它属于完全严谨演绎推理法[1]事实上,所有数学证明都属于演绎推理方法

定义[编辑]

最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步:

骨牌一个接一个倒下,就如同一个值到下一个值的过程
  1. 证明 “当n = 1时命题成立。” (选择数字1因其作为自然数集合中中最小值)
  2. 证明 “若假设n = m时命题成立,可推导出在n = m+1时命题成立。(m代表任意自然数)”

这种方法的原理在于:首先证明在某个起点值时命题成立,然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明,那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺骨牌效应也许更容易理解一些。[2][3]例如:你有一列很长的直立着的多米诺骨牌,如果你可以:

  1. 证明 “第一张骨牌会倒。”
  2. 证明 “只要任意一张骨牌倒了,其下一张骨牌也会因为前面的骨牌倒而跟著倒。”

则可下结论:所有的骨牌都会倒下。

例子1[编辑]

证明下面这个给定公式命题为真

其中n为任意自然数。这是用于计算前n个自然数的和的简单公式。证明这个公式成立的步骤如下。

证明[编辑]

第一步-起始步骤[编辑]

第一步是验证这个公式在n = 1时成立。左边 = 1,而右边 =,所以这个公式在n = 1时成立。第一步完成。

第二步-推递步骤[编辑]

第二步证明假设 n = m时公式成立,则可推理n = m+1时公式也成立。

证明步骤如下。

假设n = m时公式成立。即

【等式P(m)】

然后在等式等号两边分别加上m + 1得到

【等式P(m+1)】

这就是n = m+1时的等式。


现在需要根据等式P(m+1)演绎出等式P(m)的符号形式。(需要注意的是如果给定公式不为真,则做不到)通过因式分解合并(形式变换/字符操纵),等式P(m+1)的右手边

也就是说

这样便证明了从等式P(m) 成立可推理出等式P(m+1) 也成立。证明至此完成,结论:对于任意自然数n,P(n) 均成立。

解释[编辑]

在这个证明中,推理的过程如下:

  1. 首先证明命题P(1)成立,即公式n = 1时成立。
  2. 然后证明从命题P(m) 成立可以推演出命题P(m+1) 也成立。【此部实际属于演绎推理法。技术方法是基于命题P(m+1)的符号形式变换出命题P(m)的符号形式】
  3. 根据上两条从命题P(1)成立可以推理命题P(1+1),也就是命题P(2)成立。
  4. 继续推理,可以知道命题P(3)成立。
  5. 命题P(3)成立可以推导出命题P(4)也成立。
  6. 不断的重复推导下一命题成立的步骤。(这就是所谓“归纳”推理的地方)
  7. 我们便可以下结论:对于任意自然数n命题P(n) 成立。

例子2[编辑]

证明对于Fibonacci数列,定义,且,则

证明[编辑]

首先,我们先使得n=0的情况成立, 然后,我们假定n=k的情况下的成立的, 然后我们使得n=k+1的情况也成立,(这是为了表明,如果有任意数k使得其成立,则有其+1也成立) 于是我们得证,即从n=0,到n=0+1,1+1,2+1到所有正实数都成立,就像多米诺骨牌的第一块n=0成立而且每一块的下一块都成立(k,k+1)

数学归纳法的变体[编辑]

在应用中,数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。

从0以外的自然数开始[编辑]

第一种情况: 如果欲证明的命题并不是针对全部自然数,而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数,那么证明的步骤需要做如下修改:

  1. 第一步,证明当n = b时命题成立。
  2. 第二步,证明如果n = mmb) 成立,那么可以推导出n = m+1也成立。

用这个方法可以证明诸如“当n ≥ 3时,n2 > 2n”这一类命题。

第二种情况: 如果欲证明的命题针对全部自然数,但仅当大于等于某个数字b时比较容易证明,则可参考如下步骤:

  1. 第一步,证明当n =0,1,2,… b时命题成立。
  2. 第二步,证明如果n = mmb) 成立,那么可以推导出n = m+1也成立。

用这种方法可以证明一些需要通过放缩来证明的不等式。

只针对偶数或只针对奇数[编辑]

如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数,而只是针对所有奇数或偶数,那么证明的步骤需要做如下修改:

奇数方面:

  1. 第一步,证明当n = 1时命题成立。
  2. 第二步,证明如果n = m成立,那么可以推导出n = m+2也成立。

偶数方面:

  1. 第一步,证明当n = 02时命题成立。
  2. 第二步,证明如果n = m成立,那么可以推导出n = m+2也成立。

或调整命题表述,使之变为对所有正整数成立,例如

证明“对所有正奇数a成立”等价于证明“对所有正整数b成立”。

递降归纳法 又名 递回归纳法[编辑]

数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。对于形如“对任意的n=0,1,2,...,m”这样的命题,如果对一般的n比较复杂,而n=m比较容易验证,并且我们可以实现从kk-1的递推,k=1,...,m的话,我们就能应用归纳法得到对于任意的n=0,1,2,...,m,原命题均成立。

完整归纳法[编辑]

另一个一般化的方法叫完整归纳法(也称第二数学归纳法或强归纳法),在第二步中我们假定式子不仅当n = m时成立,当n小于或等于m时也成立.这样可以设计出这样两步:

  1. 证明当n = 0时式子成立.
  2. 证明当nm时成立,那么当n = m + 1时式子也成立.

例如,这种方法被用来证明:

其中fibn) 是第n个斐波纳契数和Φ = (1 + 51/2) / 2 (即黄金分割).如果我们可以假设式子已经在当n = mn = m − 1时成立,从fibm + 1) = fib(m) + fibm − 1)之后可以直截了当地证明当n=m + 1时式子成立.

这种方法也是第一种形式的特殊化:

  1. 定义Pn) 是我们将证的式子,
  2. P0P1)成立
  3. Pm + 1)在Pm)和Pm − 1)成立时成立。

结论:Pn)对一切自然数n成立。

超限归纳法[编辑]

最后两步可以用这样一步表示:

  1. 证明如果式子在所有的n < m成立,那么式子在当n = m时也成立.

实际上这是数学归纳法的大多数通式,可以知道他不仅对表达自然数的式子有效,而且对于任何在良基集(也就是一个偏序的集合,包括有限降链) 中元素的式子也有效(这里"<"被定义为a < b 当且仅当abab).

这种形式的归纳法当运用到序数(以有序的和一些的良基类的形式)时被称为超限归纳法.它在集合论拓扑学和其他领域是一种重要的方法.

要区别用超限归纳法证明的命题的三种情况:

  1. m是一个极小元素,也就是没有一个元素小于m
  2. m有一个直接的前辈,比m小的元素有一个大的元素
  3. m没有任何前辈,也就是m是一个界限序数.

参见数学归纳法的三种形式

形式写法[编辑]

使用二阶逻辑[编辑]

二阶逻辑可捕捉数学归纳法这概念,表达成如下逻辑式:

P(.) 是容纳一自然数的述词变元,遍历所有述词而非个别数字,为二阶量词(是故此式与二阶逻辑有关),kn 则是自然数变元,遍历所有自然数。

白话解释此式,此式说:起始步骤 P(0) 与推递步骤(即归纳假设,P(k) 蕴涵 P(k + 1)) 两步成立会导出对任一自然数 nP(n) 成立之结论。通常,我们为了证明第二步,会假设P(n)成立(归纳假设),再进一步证明P(n+1)。此牵涉到条件证法,将条件句之前件作为假设,假定其正确以便于证明。

使用一阶逻辑[编辑]

若用一阶逻辑将数学归纳法公设化,则须采用公设模式,替每一个可能存在的述词设下针对其的独立公设。举例而言,我们仅允许三个一阶述词存在,分别名为 P1、P2、P3 ,则原先以二阶逻辑描述的公设可改写为:

。然而其强度与以二阶逻辑描述之逻辑式不同,前者较后者弱。理由为一阶逻辑述词之数量为可数,而二阶逻辑量限所迭代的集合为不可数。

此外,二阶逻辑所表示的归纳公设综合其它皮亚诺公设同畴(categorical),且所得之自然数模型无限大。根据勒文海姆-斯科伦定理,用一阶逻辑表达的理论若有可数无限大的模型,则其有不可数大的模型,是故无法前头将所述的模型公设化[4]。亦即,用二阶逻辑表达的公设仅允许一群模型彼此同构,而一阶逻辑模型则因前述定理,并非每个模型都同构。

使用一阶ZFC集合论[编辑]

一阶ZFC集合论不允许述词被遍历, 但我们可以借由遍历集合,绕过一阶逻辑之限制,描述归纳法:

本身是集合,但可视作命题——只要命题在这数下成立,数字就会收入集合。别于皮亚诺公设,将数学归纳法定为公设,ZFC集合论直接定义自然数,使得归纳法本身是定理而非公设。

数学归纳法的合理性[编辑]

皮亚诺公理(Peano Axioms)视数学归纳法不证自明,设作公理,而于策梅洛-弗兰克尔集合论,数学归纳法可从良序定理(well-ordering theorem)推导出来。[5] 需要注意的是数学归纳法只能判定给定命题的,而不能证伪,因为在形式变换这一过程需要一定技巧与灵感抽象概念自然数,可通过抽象的工具去处理。通过有限的步骤处理无限对象如证明质数的无穷。

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ Suber, Peter. Mathematical Induction. Earlham College. [2011-03-26]. (原始内容存档于2011-05-24) (英语). 
  2. ^ Matt DeVos. Mathematical Induction (PDF). 西门菲莎大学 (英语). 
  3. ^ Gerardo con Diaz. Mathematical Induction (PDF). 哈佛大学. [2019-02-10]. (原始内容 (PDF)存档于2013-05-02) (英语). 
  4. ^ Derek Goldrei. Propositional and predicate calculus: a model of argument. Springer-Verlag London. 2005: 286-287. ISBN 1-85233-921-7 (英语). 
  5. ^ Well Ordering Principle and the Principle of Mathematical Induction (PDF). [2019-02-03]. (原始内容 (PDF)存档于2017-11-19) (英语). 

外部链接[编辑]