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旋转群SO(3)

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经典力学几何学里,所有环绕著三维欧几里得空间的原点的旋转,组成的,定义为旋转群。根据定义,环绕著原点的旋转是一个保持向量长度,保持空间取向(遵守右手定则左手定则)的线性变换

两个旋转的复合等于一个旋转。每一个旋转都有一个独特的旋转;零角度的旋转是单位元。旋转运算满足结合律.由于符合上述四个要求,所有旋转的集合是一个。更加地,旋转群拥有一个天然的流形结构。对于这流形结构,旋转群的运算是光滑的;所以,它是一个李群。旋转群时常会用 SO(3) 来表示。

长度与角度[编辑]

除了保持长度(保长),旋转也保持向量间的角度(保角)。原因是两向量uv内积可写作:

R3中的保长转换保持了纯量内积值不变,也因此保持了向量间的角度。包括SO(3)在内的一般性情形,参见古典群

旋转轴[编辑]

三维空间中非平凡的旋转,皆绕著一个固定的“旋转轴”,此旋转轴是R3的特定一维线性子空间(参见:欧拉旋转定理)。旋转作用在与旋转轴正交的二维平面,如同寻常的二维旋转。既然二维旋转皆可以旋转角φ表示,则任意三维旋转则可用旋转轴搭配旋转角来表示。

举例来说,绕著正z轴旋转φ角的逆时针旋转为

给定R3中一单位向量n以及角度φ,设R(φ, n)代表绕n轴作角度φ的逆时针旋转,则:

  • R(0, n)为相等转换(identity transformation),n任意单位向量;
  • R(φ, n) = R(−φ, −n);
  • R(π + φ, n) = R(π − φ, −n)。

利用这些特性,参数为旋转角φ(范围: 0 ≤ φ ≤ π)与单位向量n的任意旋转有如下性质:

  • 若φ = 0,n可为任意单位向量;
  • 若0 < φ < π,n为特定单位向量;
  • 若φ = π,n为彼此反向的两特定单位向量;亦即,旋转R(π, ±n)是等价的。

有限子群[编辑]

SO(3)中只有很少的几个有限子群,且它们全部是熟悉的对称群,包括有:

相关条目[编辑]

参考文献[编辑]