在数学中,有限差分法(finite-difference methods,简称FDM),是一种微分方程数值方法,是通过有限差分来近似导数,从而寻求微分方程的近似解。
首先假设要近似函数的各级导数都有良好的性质,依照泰勒定理,可以形成以下的泰勒展开式:
![{\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}h+{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}h^{n}+R_{n}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/914de73645542676cfad7bd9e16c93970a2ece1b)
其中n!表示是n的阶乘,Rn(x)为馀数,表示泰勒多项式和原函数之间的差。可以推导函数f一阶导数的近似值:
![{\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+f'(x_{0})h+R_{1}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63cf9cba2c58c40088ff82f0898b015bd16b4480)
设定x0=a,可得:
![{\displaystyle f(a+h)=f(a)+f'(a)h+R_{1}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a37e1e478731df6cb47927066529529fa09fb60f)
除以h可得:
![{\displaystyle {f(a+h) \over h}={f(a) \over h}+f'(a)+{R_{1}(x) \over h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c0e1d411304ff08d7a960e1d532d664734ea7d9)
求解f'(a):
![{\displaystyle f'(a)={f(a+h)-f(a) \over h}-{R_{1}(x) \over h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2d6682b32498b37de1ac5ec1c5c315f7567f6d3)
假设
相当小,因此可以将"f"的一阶导数近似为:
![{\displaystyle f'(a)\approx {f(a+h)-f(a) \over h}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73850165addec94b0dc55f6204a2b32b6371f522)
近似解的误差定义为近似解及解析解之间的差值。有限差分法的两个误差来源分别是舍入误差及截尾误差(或称为离散化误差),前者是因为电脑计算小数时四舍五入造成的误差,后者则是用有限阶级数表示导数引起的误差。
有限差分法是以在格点上函数的值为准
在运用有限差分法求解一问题(或是说找到问题的近似解)时,第一步需要将问题的定义域离散化。一般会将问题的定义域用均匀的网格分割(可参考右图)。因此有限差分法会制造一组导数的离散数值近似值。
一般会关注近似解的局部截尾误差,会用大O符号表示,局部截尾误差是指应用有限差分法一次后产生的误差,因此为
,此时
是实际值,而
为近似值。泰勒多项式的馀数项有助于分析局部截尾误差。利用
泰勒多项式的馀数项,也就是
, 其中
,
可以找到局部截尾误差的主控项,例如用前项差分法计算一阶导数,已知
,
![{\displaystyle f(x_{0}+ih)=f(x_{0})+f'(x_{0})ih+{\frac {f''(\xi )}{2!}}(ih)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3bd1b9a0b46bc10331724922cbafff4ef65114f)
利用一些代数的处理,可得
![{\displaystyle {\frac {f(x_{0}+ih)-f(x_{0})}{ih}}=f'(x_{0})+{\frac {f''(\xi )}{2!}}ih,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a1c7b3020fc81e7e5103f29d5d113d3ea56c480)
注意到左边的量是有限差分法的近似,右边的量是待求解的量再加上一个馀数,因此馀数就是局部截尾误差。上述范例可以用下式表示:
![{\displaystyle {\frac {f(x_{0}+ih)-f(x_{0})}{ih}}=f'(x_{0})+O(h).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3642c8eb151d313e6e37925c6d4ae9c29a655405)
在此例中,局部截尾误差和时间格点的大小成正比。
例如考虑以下的常微分方程
![{\displaystyle u'(x)=3u(x)+2.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43fa12a893257b8930925ecafb4370f6cc8722ef)
利用数值方法中欧拉法求解,利用以下的有限差分式
![{\displaystyle {\frac {u(x+h)-u(x)}{h}}\approx u'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f664c9609a75482c79d641f0a49ef2e62f60c6e)
来近似导数,并配合一些代数处理(等号两侧同乘以h,再加上u(x)),可得
![{\displaystyle u(x+h)=u(x)+h(3u(x)+2).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d47ab29816a0b6030b7a257e411339104a9f5375)
最后的方程式即为有限差分方程,求解此方程则可得到原方程的近似解。
考虑正规化的一维热传导方程式,为齐次的狄利克雷边界条件
![{\displaystyle U_{t}=U_{xx}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6750ab883a2f9e955ce6f518e997d2abaf2e0b2)
(边界条件)
(初始条件)
对此问题求数值解的一种方式是用差分去近似所有的导数,可以将空间分割为
,将时间也分割为
。假设在时间及空间都是均匀的网格切割,空间中两个连续位置的间隔为h,两个连续时间之间的间隔为k。点
![{\displaystyle u(x_{j},t_{n})=u_{j}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a34fed61644bcbdbfedfbe1150911a9f5fe9dff)
表示
的数值近似解。
热传导方程最常用显式方法的模版
利用在时间
的前向差分,以及在位置
的二阶中央差分(FTCS 格式),可以得到以下的迭代方程:
![{\displaystyle {\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k}}={\frac {u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16537d53a7599049e4dcc8c13f749bdf3fc2b1b2)
这是用求解一维导热传导方程的显式方法。
可以用以下的式子求解
![{\displaystyle u_{j}^{n+1}=(1-2r)u_{j}^{n}+ru_{j-1}^{n}+ru_{j+1}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3687ff4fab682f182cb4468868a39011ca2efd2)
其中
因此配合此迭代关系式,已知在时间n的数值,可以求得在时间n+1的数值。
及
的数值可以用边界条件代入,在此例中为0。
此显式方法在
时,为数值稳定且收敛[1]。其数值误差和时间间隔成正比,和位置间隔的平方成正比:
![{\displaystyle \Delta u=O(k)+O(h^{2})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc94dc45aea2ebd288b93cdd0b2a4a92eb4e77c0)
隐式方法的模版
若使用时间
的后向差分,及位置
的二阶中央差分(BTCS 格式),可以得到以下的迭代方程:
![{\displaystyle {\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k}}={\frac {u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3016a002021b67daa7908a78f82fa2e8aeb90df6)
这是用求解一维导热传导方程的隐式方法。
在求解线性联立方程后可以得到
:
![{\displaystyle (1+2r)u_{j}^{n+1}-ru_{j-1}^{n+1}-ru_{j+1}^{n+1}=u_{j}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa25e6866ec5a224a5f6462afab0ee10cbb03c60)
此方法不论
的大小,都数值稳定且收敛,但在计算量会较显式方法要大,因为每前进一个时间间隔,就需要求解一个联立的数值方程组。其数值误差和时间间隔成正比,和位置间隔的平方成正比:
![{\displaystyle \Delta u=O(k)+O(h^{2})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc94dc45aea2ebd288b93cdd0b2a4a92eb4e77c0)
若使用时间
的中间差分,及位置
的二阶中央差分(CTCS 格式),可以得到以下的迭代方程:
![{\displaystyle {\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}}+{\frac {u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}}\right).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bc7faf6e584d2c8aed8e3236a6dee1dc5ac8d62)
此公式为克兰克-尼科尔森方法(Crank–Nicolson method)。
克兰克-尼科尔森方法的模版
在求解线性联立方程后可以得到
:
![{\displaystyle (2+2r)u_{j}^{n+1}-ru_{j-1}^{n+1}-ru_{j+1}^{n+1}=(2-2r)u_{j}^{n}+ru_{j-1}^{n}+ru_{j+1}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46749522cb306348ad3673a3e4d49be5689cd3df)
此方法不论
的大小,都数值稳定且收敛,但在计算量会较显式方法要大,因为每前进一个时间间隔,就需要求解一个联立的数值方程组。其数值误差和时间间隔的平方成正比,和位置间隔的平方成正比:
![{\displaystyle \Delta u=O(k^{2})+O(h^{2}).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63940bfe514171bf62ce12fe2e746fe8debfab1f)
若时间刻度较小时,克兰克-尼科尔森方法是最精确的,而显式方法是最不精确的,而且可能会不稳定,但是是最容易计算的,其数值计算量也最少。若时间刻度较大时,隐式方法的效果最好。
- ^ Crank, J. The Mathematics of Diffusion. 2nd Edition, Oxford, 1975, p. 143.