椭圆函数

在复分析中，椭圆函数是复平面上的双周期亚纯函数。历史上，椭圆函数起初被视作椭圆积分之逆。

更明确地说，固定 $\mathbb {C}$ 中的格 $\Lambda :=\mathbb {Z} a\oplus \mathbb {Z} b\subset \mathbb {C}$ （ $a,b\in \mathbb {C}$ ），亚纯函数 $f$ 是 $\Lambda$ 的椭圆函数，若且唯若对每个 $z\in \mathbb {C} ,\ell \in \Lambda$ 皆有 $f(z+\ell )=f(z)$ （此即“双周期”的含义）。

全纯椭圆函数的绝对值应恒小于某个正数，因此该函数有界，而根据复分析中的刘维尔定理，有界的全纯函数只能是常数函数，故非常数的椭圆函数必带极点，或者说，椭圆函数是有理型复函数。下文中讨论椭圆函数的性质时，不将常函数视为椭圆函数。

一般的椭圆函数的导数仍为椭圆函数。

椭圆函数在单位平行四边形内的留数之和为零，因此可以进一步得知椭圆函数的阶数至少为二，否则，该函数在单位胞腔内将只有一个一阶极点，在该点上的函数展开式的无限部分将不为零，导致矛盾。标准的椭圆函数有两种，分别是只有留数之和为零的两个一阶极点的雅可比椭圆函数及只有一个留数为零的二阶极点的魏尔斯特拉斯椭圆函数。虽然雅可比椭圆函数较为古老，且与实际应用的关系更为直接，大多数现代作者在介绍基本理论时多采用魏尔斯特拉斯椭圆函数，因其函数形式更为简单。是准周期函数的Θ函数虽非双周期函数，但也能用来构造椭圆函数。

出于周期性，椭圆函数还具有一系列好的性质。比如，单位胞腔内椭圆函数零点的数目等同于极点的数目，而取得任何有限或无限值的次数相同。进一步地，对于两个拥有相同周期的椭圆函数，存在代数关系：如果它们具有相同的的零点和极点及其阶数，那么它们之比是非零的常数；如果它们具有相同的极点和极点的无限部分，那么它们之差为一常数。所以，任意椭圆函数都可以用魏尔斯特拉斯椭圆函数和雅可比椭圆函数来描述。

雅可比椭圆函数

共有十二个雅可比椭圆函数，分别对映到某个矩形的顶点连线。此诸顶点记作 $s\,$ $c\,$ $d\,$ $n\,$ 。在十二个椭圆函数中，椭圆正弦函数 $\operatorname {sn}$ ，椭圆余弦函数 $\operatorname {cn}$ 和椭圆德尔塔函数 $\operatorname {dn}$ 是最基本的，作为第一类不完全椭圆积分的逆出现。如果有

u=\int _{0}^{\phi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}.

那么三个椭圆函数就可以定义为

\operatorname {sn} \;u=\sin \phi \,

\operatorname {cn} \;u=\cos \phi

\operatorname {dn} \;u={\sqrt {1-m\sin ^{2}\phi }}.\,

这里的 $m\in \mathbb {R}$ 是椭圆模长 $k$ 的平方，一般取 $0\leq m\leq 1$ 。另外九种椭圆函数可以表示为基本椭圆函数的商和倒数。

文献

Abramowitz, Milton en Stegun, Irene A., eds. (1965). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. ISBN 0-486-61272-4.（Chapter 16, 18）