橢圓函數

在複分析中，橢圓函數是複平面上的雙週期亞純函數。歷史上，橢圓函數起初被視作橢圓積分之逆。

更明確地說，固定 $\mathbb {C}$ 中的格 $\Lambda :=\mathbb {Z} a\oplus \mathbb {Z} b\subset \mathbb {C}$ （ $a,b\in \mathbb {C}$ ），亞純函數 $f$ 是 $\Lambda$ 的橢圓函數，若且唯若對每個 $z\in \mathbb {C} ,\ell \in \Lambda$ 皆有 $f(z+\ell )=f(z)$ （此即「雙週期」的含義）。

全純橢圓函數的絕對值應恆小於某個正數，因此該函數有界，而根據複分析中的劉維爾定理，有界的全純函數只能是常數函數，故非常數的橢圓函數必帶極點，或者說，橢圓函數是有理型複函數。下文中討論橢圓函數的性質時，不將常函數視為橢圓函數。

一般的橢圓函數的導數仍為橢圓函數。

橢圓函數在單位平行四邊形內的留數之和為零，因此可以進一步得知橢圓函數的階數至少為二，否則，該函數在單位胞腔內將只有一個一階極點，在該點上的函數展開式的無限部分將不為零，導致矛盾。標準的橢圓函數有兩種，分別是只有留數之和為零的兩個一階極點的雅可比橢圓函數及只有一個留數為零的二階極點的魏爾斯特拉斯橢圓函數。雖然雅可比橢圓函數較為古老，且與實際應用的關係更為直接，大多數現代作者在介紹基本理論時多採用魏爾斯特拉斯橢圓函數，因其函數形式更為簡單。是准周期函數的Θ函數雖非雙週期函數，但也能用來構造橢圓函數。

出於周期性，橢圓函數還具有一系列好的性質。比如，單位胞腔內橢圓函數零點的數目等同於極點的數目，而取得任何有限或無限值的次數相同。進一步地，對於兩個擁有相同周期的橢圓函數，存在代數關係：如果它們具有相同的的零點和極點及其階數，那麼它們之比是非零的常數；如果它們具有相同的極點和極點的無限部分，那麼它們之差為一常數。所以，任意橢圓函數都可以用魏爾斯特拉斯橢圓函數和雅可比橢圓函數來描述。

雅可比橢圓函數

共有十二個雅可比橢圓函數，分別對映到某個矩形的頂點連線。此諸頂點記作 $s\,$ $c\,$ $d\,$ $n\,$ 。在十二個橢圓函數中，橢圓正弦函數 $\operatorname {sn}$ ，橢圓餘弦函數 $\operatorname {cn}$ 和橢圓德爾塔函數 $\operatorname {dn}$ 是最基本的，作為第一類不完全橢圓積分的逆出現。如果有

u=\int _{0}^{\phi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}.

那麼三個橢圓函數就可以定義為

\operatorname {sn} \;u=\sin \phi \,

\operatorname {cn} \;u=\cos \phi

\operatorname {dn} \;u={\sqrt {1-m\sin ^{2}\phi }}.\,

這裏的 $m\in \mathbb {R}$ 是橢圓模長 $k$ 的平方，一般取 $0\leq m\leq 1$ 。另外九種橢圓函數可以表示為基本橢圓函數的商和倒數。

文獻

Abramowitz, Milton en Stegun, Irene A., eds. (1965). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. ISBN 0-486-61272-4.（Chapter 16, 18）