相亲数
外观
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相亲数(Amicable numbers),又称亲和数、友爱数、友好数,指两个正整数中,彼此的全部正约数之和(本身除外)与另一方相等。毕达哥拉斯曾说:“朋友是你灵魂的倩影,要像220与284一样亲密。”
每一对亲和数都是过剩数配亏数,较小的是过剩数,较大的是亏数。
例如220与284:
- 220的全部正因数(除掉本身)相加是:1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
- 284的全部正因数(除掉本身)相加的和是:1+2+4+71+142=220
亲和数中可轻易推出,一方的全部正因数之和与另一方的全部正因数之和相等。(此叙述不可逆,不能用来判断是否为亲和数)
- 220的全部正因数之和是:1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110+220 = 284+220 = 504
- 284的全部正因数之和是:1+2+4+71+142+284 = 220+284 = 504
前十个相亲数是:(220,284),(1184,1210),(2620,2924),(5020,5564),(6232,6368),(10744,10856),(12285,14595), (17296,18416),(63020,76084)和(66928,66992)……(OEIS数列A259180)。 (另见 A002025和
A002046)
历史
[编辑]- 320年左右,古希腊毕达哥拉斯发现的220与284,是人类认识的第一对相亲数.
- 约850年,阿拉伯数学家塔别脱·本·科拉就发现了相亲数公式,后来称为塔别脱·本·科拉法则。
- 1636年,费马发现了另一对相亲数:17296和18416。
- 1638年,笛卡儿也发现了一对相亲数:9363584和9437056。
- 欧拉也研究过相亲数这个课题。1750年,他一口气向公众抛出了60对相亲数:2620和2924,5020和5564,6232和6368,……,从而引起了轰动。
- 1866年,年方16岁的意大利青年巴格尼尼(并非小提琴演奏家、作曲家的帕格尼尼)发现1184与1210是仅仅比220与284稍为大一些的第二对相亲数。
- 目前,人们已找到了12,000,000多对相亲数。但相亲数是否有无穷多对,相亲数的两个数是否都是或同是奇数,或同是偶数,而没有一奇一偶等,这些问题还有待继续探索。
寻找方法
[编辑]欧拉法则
[编辑]对于正整数,,,,。若均为质数,则和是相亲数。这个法则能找出符合亲和数的数对,但时没有其他符合的数对。
塔别脱·本·科拉法则
[编辑]这是欧拉法则的特殊情况:第个塔别脱·本·科拉数。若、和均为质数,则和是相亲数。
其他
[编辑]- 在目前所有已知的情况下,相亲数皆同为偶数或同为奇数。目前不知道一奇一偶的相亲数是否存在,但若存在,则偶数必须为完全平方数或其两倍,且奇数也必须是完全平方数。
- 目前已知存在7对具有不同的最小质因数的相亲数。[1]
- 在目前所有已知的情况下,相亲数皆具有质公因数。目前不知道是否存在互质的相亲数。若存在,两者乘积必大于1067.[来源请求]
- 1955年,艾狄胥·帕尔(PaulErdős)说明相亲数相对于正整数的密度为0。[2]
参看
[编辑]延伸阅读
[编辑]- 公有领域出版物的文本: Chisholm, Hugh (编). Amicable Numbers. Encyclopædia Britannica (第11版). London: Cambridge University Press. 1911. 本条目包含来自
- Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav. Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. 2004: 32–36. ISBN 978-1-4020-2546-4. Zbl 1079.11001.
- Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. London: Penguin Group. 1987: 145–147.
- 埃里克·韦斯坦因. Amicable Pair. MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Thâbit ibn Kurrah Rule. MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Euler's Rule. MathWorld.
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- ^ Amicable pairs news. [2022-11-21]. (原始内容存档于2021-07-18).
- ^ Erdős, Paul. On amicable numbers (PDF). Publicationes Mathematicae Debrecen. 1955, 4: 108–111. (原始内容存档 (PDF)于2022-10-09).