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简单多胞形

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三维关联多面体英语Associahedron。每个顶点都恰好与三个边、三个面相邻,因此这是一个简单多胞形

几何学中,d维简单多胞形(或称简单d维多胞形)是指顶点恰好只与d(或d个维面)相接的d维多胞形。 d维简单多胞形的顶点图(d−1)单纯形[1]

简单多胞形在拓朴上的对偶单纯多胞形英语Simplicial polytope。同时是单纯多胞形又是简单多胞形的几何体是单纯形或二维多边形[注 2]。 在这个定义下的三维情形是简单多面体,这种简单多面体[注 3]是指每个顶点指与三个面相邻或每个顶点只与三条棱相接的多面体。这种简单多面体的对偶多面体为“单纯多面体”(即三角面多面体),其所有面都是三角形。[2]

范例

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三维空间的简单多胞形可称为简单多面体[注 3],其包括了棱柱(包括立方体)、正四面体和正十二面体,也有包括部分的阿基米德立体截角四面体截角立方体截角八面体大斜方截半立方体截角十二面体截角二十面体大斜方截半二十面体。 一般来说,任何多面体都可以透过截去分支度为4或更高分支度的顶点来转换成简单多面体。 例如截对角偏方面体是截去偏方面体的高分支度顶点构成的,截对角偏方面体也是一种简单多面体。

四维空间的简单多胞形包括了正一百二十胞体超立方体。简单均匀四维多胞形英语Uniform 4-polytope包括了截角正五胞体截角超立方体截角正二十四胞体截角正一百二十胞体柱体柱。此外,所有的过截角四维多胞体都是简单多胞形。

更高维度的简单多胞形包括了d单纯形超方形关联多面体英语Associahedron排列多面体英语Permutohedron

唯一建构

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米夏·佩尔斯英语Micha Perles推测简单多胞形完全由其一阶骨架(1-skeleton)所决定。[3]他的猜想于 1987年被罗斯威莎·布林德英语Roswitha Blind和彼得·马尼·莱维茨卡(Peter Mani-Levitska)证明。后来吉尔卡莱英语Gil Kalai基于唯一沉向英语unique sink orientations理论对此结论提供了更简洁的证明。[4]

参见

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注释

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  1. ^ 多边形中,有位于实空间和复空间的多边形,位于复空间的多边形称为复多边形,两者性质有些许不同,因此在特定情况下需要明确区分。
  2. ^ 由于简单多胞形是指在该形状所在的维度下,顶点分支度与维度数相同的几何结构。 而所有实空间[注 1]平面多边形顶点的分支度皆为2,因此在多边形中,“简单多边形”这个术语通常不是指简单多胞形在二维空间的类比,而是指另一个概念——周界不相交的多边形。详见简单多边形
  3. ^ 3.0 3.1 简单多面体有两种定义,一种是简单多边形推广到三维空间的多面体,这种多面体的定义是不存在自相交之面的多面体;另外一种定义是简单多胞形的三维特例,也称为简单多面体。实际上要依照前后文进行判断是指哪一种立体。

参考文献

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  1. ^ Ziegler, Günter M., Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics 152, Springer: 8, 2012, ISBN 9780387943657 
  2. ^ Cromwell, Peter R., Polyhedra, Cambridge University Press: 341, 1997, ISBN 0-521-66405-5 
  3. ^ Blind, Roswitha; Mani-Levitska, Peter, Puzzles and polytope isomorphisms, Aequationes Mathematicae, 1987, 34 (2-3): 287–297, MR 0921106, doi:10.1007/BF01830678 
  4. ^ Kalai, Gil, A simple way to tell a simple polytope from its graph, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 1988, 49 (2): 381–383, MR 0964396, doi:10.1016/0097-3165(88)90064-7