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簡單多胞形

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三維關聯多面體英語Associahedron。每個頂點都恰好與三個邊、三個面相鄰,因此這是一個簡單多胞形

幾何學中,d維簡單多胞形(或稱簡單d維多胞形)是指頂點恰好只與d(或d個維面)相接的d維多胞形。 d維簡單多胞形的頂點圖(d−1)單純形[1]

簡單多胞形在拓樸上的對偶單純多胞形英語Simplicial polytope。同時是單純多胞形又是簡單多胞形的幾何體是單純形或二維多邊形[註 2]。 在這個定義下的三維情形是簡單多面體,這種簡單多面體[註 3]是指每個頂點指與三個面相鄰或每個頂點只與三條稜相接的多面體。這種簡單多面體的對偶多面體為「單純多面體」(即三角面多面體),其所有面都是三角形。[2]

範例

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三維空間的簡單多胞形可稱為簡單多面體[註 3],其包括了稜柱(包括立方體)、正四面體和正十二面體,也有包括部分的阿基米德立體截角四面體截角立方體截角八面體大斜方截半立方體截角十二面體截角二十面體大斜方截半二十面體。 一般來說,任何多面體都可以透過截去分支度為4或更高分支度的頂點來轉換成簡單多面體。 例如截對角偏方面體是截去偏方面體的高分支度頂點構成的,截對角偏方面體也是一種簡單多面體。

四維空間的簡單多胞形包括了正一百二十胞體超立方體。簡單均勻四維多胞形英語Uniform 4-polytope包括了截角正五胞體截角超立方體截角正二十四胞體截角正一百二十胞體柱體柱。此外,所有的過截角四維多胞體都是簡單多胞形。

更高維度的簡單多胞形包括了d單純形超方形關聯多面體英語Associahedron排列多面體英語Permutohedron

唯一建構

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米夏·佩爾斯英語Micha Perles推測簡單多胞形完全由其一階骨架(1-skeleton)所決定。[3]他的猜想於 1987年被羅斯威莎·布林德英語Roswitha Blind和彼得·馬尼·萊維茨卡(Peter Mani-Levitska)證明。後來吉爾卡萊英語Gil Kalai基於唯一沉向英語unique sink orientations理論對此結論提供了更簡潔的證明。[4]

參見

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註釋

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  1. ^ 多邊形中,有位於實空間和複空間的多邊形,位於複空間的多邊形稱為複多邊形,兩者性質有些許不同,因此在特定情況下需要明確區分。
  2. ^ 由於簡單多胞形是指在該形狀所在的維度下,頂點分支度與維度數相同的幾何結構。 而所有實空間[註 1]平面多邊形頂點的分支度皆為2,因此在多邊形中,「簡單多邊形」這個術語通常不是指簡單多胞形在二維空間的類比,而是指另一個概念——周界不相交的多邊形。詳見簡單多邊形
  3. ^ 3.0 3.1 簡單多面體有兩種定義,一種是簡單多邊形推廣到三維空間的多面體,這種多面體的定義是不存在自相交之面的多面體;另外一種定義是簡單多胞形的三維特例,也稱為簡單多面體。實際上要依照前後文進行判斷是指哪一種立體。

參考文獻

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  1. ^ Ziegler, Günter M., Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics 152, Springer: 8, 2012, ISBN 9780387943657 
  2. ^ Cromwell, Peter R., Polyhedra, Cambridge University Press: 341, 1997, ISBN 0-521-66405-5 
  3. ^ Blind, Roswitha; Mani-Levitska, Peter, Puzzles and polytope isomorphisms, Aequationes Mathematicae, 1987, 34 (2-3): 287–297, MR 0921106, doi:10.1007/BF01830678 
  4. ^ Kalai, Gil, A simple way to tell a simple polytope from its graph, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 1988, 49 (2): 381–383, MR 0964396, doi:10.1016/0097-3165(88)90064-7