完全格
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完全格又稱完備格,(英語:complete lattice),在數學中是代表所有子集都有上確界(並)和下確界(交)的偏序集。完全格出現於數學和計算機科學的很多應用中。作為格的特殊實例,在序理論和泛代數中都有所研究。
完全格一定不能混淆於完全偏序(cpo),它構成嚴格的更加一般的一個偏序集合類別。更特殊的完全格是完全布爾代數和完全海廷代數(locale)。
形式定義
[編輯]偏序集合(L, ≤)是完全格,如果L的所有子集A在(L, ≤)中都有最大下界(下確界,交)和最小上界(上確界,並)二者。它們被表示為:
- A(交)和A(並)。
注意在A是空集的特殊情況下,L的任何元素都是空集的上界和下界,A的交將是L的最大元素。類似的,空集的並生成最小元素。因為定義還確保了二元交和並的存在,完全格因為形成了特殊種類的有界格。
上述定義的更多蘊涵在關於序理論中完備性性質的文章中討論。
例子
[編輯]- 給定集合的冪集,按包含排序。上確界給出自這些子集的併集而下確界給出自這些子集的交集。
- 單位區間[0,1]和擴展的實數軸,通過平常的全序和普通的上確界和下確界。實際上,全序集合(帶有它的序拓撲)作為拓撲空間是緊緻的,如果它作為一個格是完全的。
- 非負整數按整除排序。這個格最小元是1,因為它可以整除任何其他數。可能令人驚奇的是,最大元是0,因為它可以被任何數整除。有限集合的上確界給出自最小公倍數而下確界給出自最大公約數。對於無限集合,上確界將總是0而下確界可以大於1。例如,所有偶數的集合有2作為最大公約數。如果從這個結構中去掉0它仍是格但不再是完全的。
- 任何給定群的子群在包含關係下。(儘管這裡的下確界是平常的集合論交集,但子群的集合的上確界是子群的集合論併集所生成的子群,而不是集合論併集自身)。如果e是G的單位元,則平凡的群{e}是G的極小子群。而極大子群是群G自身。
- 模的子模按包含排序。上確界給出自子模的和而下確界給出自交集。
- 環的理想子環按包含排序。上確界給出自理想子環的和而下確界給出自交集。
- 拓撲空間的開集按包含排序。上確界給出自開集的並而下確界給出自交集的內部。
- 實數或複數的向量空間的凸集按包含排序。下確界給出自凸集的交集而上確界給出自併集的凸包。
- 在集合上拓撲按包含排序。下確界給出自拓撲的交集,而上確界給出自拓撲的併集所生成的拓撲。
- 在集合上的所有傳遞關係的格。
- 多重集的子多重集的格。
- 在集合上的所有等價關係的格;等價關係~被認為比≈更小(或"更細"),如果x~y總是蘊涵x≈y。