對數積分
是一個特殊函數。它出現在物理學的問題中,在數論中也有重要性,主要出現在與質數定理與黎曼猜想的相關理論之中。
對數積分
積分表示法[編輯]
對數積分有一個積分的表示法,對所有的正實數
都有定義:
![{\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln(t)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57f4dc145cfd7baa021168766d0d918dd7d62157)
在這裡,ln表示自然對數。函數1/ln (t)在t = 1處有一個奇點,當x > 1時,這個積分只能用柯西主值的概念來解釋:
![{\displaystyle \operatorname {li} (x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln(t)}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln(t)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbd2307434060b2ae671cc6bcac7cdaf4dd3f405)
特殊值與歐拉對數積分[編輯]
由於這個積分在x趨近於1時,值會趨近於負無窮大,有些數學家為了避免麻煩,常會選擇另外一個相似的定義,歐拉對數積分定義為:
![{\displaystyle \operatorname {Li} (x)=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f682dbd8ec25eef9d1ab14ba520c6d699bf687db)
或
![{\displaystyle \operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09b285c4d90d82f798610c438fb15bc5dd7e9b07)
函數li(x)有一個正根,它出現在x ≈ 1.45136 92348 ...。這個數稱為Ramanujan-Soldner常數。
![{\displaystyle \operatorname {li} (2)=-(\Gamma \left(0,-\ln 2\right)+i\,\pi )\sim 1.045163780117492784844588889194613136522615578151}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7dacd6a33908a91141b44d6f571d4fd55eff856)
其中
是不完全伽瑪函數。
級數表示法[編輯]
函數li(x)與指數積分Ei(x)有以下的關係:
![{\displaystyle {\hbox{li}}(x)={\hbox{Ei}}(\ln(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d96eb6caf7850cc98e5b68a3f528bd8155487d0)
其中
。這個等式提供了li(x)的一個級數表示法:
![{\displaystyle \operatorname {li} (e^{u})={\hbox{Ei}}(u)=\gamma +\ln u+\sum _{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!}\quad {\text{for }}u\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eedc556c35bd27fc3bce6e8c827deb722f823c22)
其中γ ≈ 0.57721 56649 01532 ...是歐拉-馬歇羅尼常數。一個收斂得更快的級數,是:
![{\displaystyle \operatorname {li} (x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n!\;2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d967264b208112d0721815cc424bc774fc5d3636)
漸近展開式[編輯]
當x → ∞,函數有以下的漸進表現:
![{\displaystyle \operatorname {li} (x)={\mathcal {O}}\left({x \over \ln(x)}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ad555acb9dfc10864fe2620ca5995249fcc3916)
其中
是大O符號。完整的漸近展開式為:
![{\displaystyle \operatorname {li} (x)={\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3564f122ef9cbf993d9e8b21d32e4676eb4d80e)
或
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {li} (x)}{x/\ln x}}=1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{(\ln x)^{2}}}+{\frac {6}{(\ln x)^{3}}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/781926b17d018b88cf02e9776d95332f47dc292b)
注意,作為漸近展開式,這個級數是發散的:只有級數前面有限個項才是較好的估計。這個展開式可從指數積分的漸近展開式直接推出。
數論中的重要性[編輯]
對數積分在數論中十分重要,出現在小於某個整數的素數個數的估計中。例如,質數定理表明:
![{\displaystyle \pi (x)\sim \operatorname {Li} (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33cee86504328d29f4afbaa9207ac6266b715c9f)
其中π(x)是小於或等於x的素數的個數。
參考文獻[編輯]