流 (數學)

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數學中, 一個用數學方式形式化了「取決於時間的變化」的一般想法,這經常出現在工程學, 物理學常微分方程的研究中。非正式地說,如果 是某一系統的坐標連續表現為一個 t函數,那麼 是一個流。更形式地說,流是單參數群在一個集合上的群作用

向量流的概念,即由一個向量場確定的流,出現於微分拓撲黎曼流形李群諸多領域。向量流的特例包括測地流哈密頓流里奇流平均曲率流以及 Anosov 流

形式化定義[編輯]

集合 上的一個流是 上的群作用。更準確地,流是一個函數 ,滿足 且和單參數群保持一致:

對所有 屬於

集合 稱為 作用下的軌道

當空間 有額外的結構(比如 是一個拓撲空間)時,流經常要求連續甚至可微

在許多領域,包括在工程學、物理和常微分方程研究中一般用一個記號明確的表明流。從而

寫成 ,這樣我們可以說「變量 x 取決於時間 t」。事實上,在記號上,有嚴格的等價關係:。類似地

寫成 ,等等。

例子[編輯]

流最常見的例子是描述自治常微分方程的解,當方程的解存在且惟一時

可作為初始條件 的函數。這就是,如果以上方程有惟一的解 對任何 ,那麼 定義了一個流。

參考文獻[編輯]