在數學中, 一個流用數學方式形式化了「取決於時間的變化」的一般想法,這經常出現在工程學, 物理學和常微分方程的研究中。非正式地說,如果
是某一系統的坐標連續表現為一個 t 的函數,那麼
是一個流。更形式地說,流是單參數群在一個集合上的群作用。
向量流的概念,即由一個向量場確定的流,出現於微分拓撲、黎曼流形和李群諸多領域。向量流的特例包括測地流、哈密頓流、里奇流、平均曲率流以及 Anosov 流。
集合
上的一個流是
在
上的群作用。更準確地,流是一個函數
,滿足
且和單參數群保持一致:
![{\displaystyle \varphi (\varphi (x,t),s)=\varphi (x,s+t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd206878579f3808ae0ce9351913dda97de84cc)
對所有
屬於
和
。
集合
稱為
在
作用下的軌道。
當空間
有額外的結構(比如
是一個拓撲空間或
)時,流經常要求連續甚至可微。
在許多領域,包括在工程學、物理和常微分方程研究中一般用一個記號明確的表明流。從而
![{\displaystyle x(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54c275db3a1e620737b58e143b0818107fa5f5c)
寫成
,這樣我們可以說「變量 x 取決於時間 t」。事實上,在記號上,有嚴格的等價關係:
。類似地
![{\displaystyle x_{0}=x(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/001f6b6e1b729c7287c9786491d7195c0028fab4)
寫成
,等等。
流最常見的例子是描述自治常微分方程的解,當方程的解存在且惟一時
![{\displaystyle y'=f(y),\;\;\;y(0)=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/098a4d73df774253a84cc43d797bd3eb93ba16a3)
可作為初始條件
的函數。這就是,如果以上方程有惟一的解
對任何
,那麼
定義了一個流。
- D.V. Anosov, Continuous flow, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- D.V. Anosov, Measureable flow, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- D.V. Anosov, Special flow, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
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