積 (範疇論)

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範疇論中,(或直積)的概念提取了集合的笛卡兒積、群的積、環的積、拓撲空間的積等概念的共性。本質上講,一組對象的積是到這些對象都有態射的對象中最具代表性的。

定義[編輯]

給定範疇CC中一對象集{Xi | iI}的積為滿足下面泛性質的偶(X, (πi)),其中X為一對象,πi : XXiiI)為一組態射:對任意對象Y及其到Xi的一組態射fi,存在唯一的態射f : YX滿足,對任意iIfi = πi f。即,對任意i,下圖可交換

Universal product of the product

若該組對象僅有兩個,積通常用X1×X2來表示。上圖變為:

Universal product of the product

此時,此唯一態射f也常表示為<f1,f2>。

討論[編輯]

積為範疇論中的一種極限。積也即C離散子範疇的極限。積不一定存在。但若存在,則由其定義易知其在同構的意義下唯一。

空積I為空時所得的積)即終對象

C中對任意基於I的對象集均存在積,則該積也可以看做一個從CIC函子

集合{Xi}的積通常記為∏i Xi。態射πi也稱為自然投影。如下自然同構成立:

(HomC(U,V)表示C中從UV的態射集;左側的積為範疇意義上的積、右側的為集合的笛卡兒積)。

I為有限集,例如I = {1,...,n},則X1,...,Xn的積通常記為X1×...×Xn

C存在有限積,採用上述積函子的定義,並用1表示C終對象空積),則下列自然同構成立:

上述為構成一個交換么半群的條件。

舉例[編輯]

  • Set的積為集合的笛卡兒積。
  • 由偏序構成的範疇:一組元素的積為該組元素的最大下界

參見[編輯]