塞迈雷迪定理

维基百科，自由的百科全书

在算术组合学（英语：arithmetic combinatorics）中，塞迈雷迪定理是个关于自然数集子集中的等差数列的结论。1936年，艾狄胥和图兰·帕尔猜想[1]：若整数集 A 具有正的自然密度，则对任意的正整数 k, 都可以在 A 中找出一个 k 项的等差数列。塞迈雷迪·安德烈于 1975 年证明了此结论。

定理叙述[编辑]

若自然数集的子集 A 满足

则称 A 具有正的上密度。塞迈雷迪定理断言，若自然数集的一个子集具有正的上密度，则对任意的正整数 k, 该子集都包含无穷多个长为 k 的（公差不为 0) 的等差数列。

定理另有一个等价的有限性叙述（即不牵涉“无穷”的）：对任意的正整数 k 和实数 都存在正整数

使得 {1, 2, ..., N} 的每个至少 δN 元的子集，都包含长为 k 的等差数列。

定义 rk(N) 为 {1, 2, ..., N} 的子集当中，不包含长为 k 的等差数列的最大子集的大小。塞迈雷迪定理给出渐近上界

换言之，rk(N) 随 N 的增长慢于线性。

历史[编辑]

范德瓦尔登定理是塞迈雷迪定理的先驱，其于 1927 年获证。

塞迈雷迪定理中， k = 1 和 k = 2 的情况显然成立。 k = 3 的结论关乎萨莱姆-斯宾塞集（英语：Salem-Spencer set）（不包含 3 项等差数列的整数子集）的大小。1953 年，克劳斯·罗特[2] 利用类似哈代-李特尔伍德圆法的方法，证明了 k = 3 的结论。1969 年，塞迈雷迪·安德烈[3]利用组合学方法证明了 k = 4 的情况。在 1972 年，罗特[4]利用类似自己证明 k = 3 的情况的方法，给出了 k = 4 的情况的另证。

塞迈雷迪于 1975 年给出了适用于所有 k 的证明。[5] 他巧妙地扩展了自己先前对 k = 4 的情况的组合论证，艾狄胥称该证明为“组合学推理的杰作”("a masterpiece of combinatorial reasoning")[6]. 定理亦有若干其他证明，较重要的有：1977 年希勒尔·菲尔斯滕贝格利用遍历理论给出的证明[7][8]，以及 2001 年高尔斯结合傅里叶分析和组合数学给出的证明[9]。陶哲轩称塞迈雷迪定理的众多证明为“罗塞塔石碑”，因为它们连结了几个乍看之下迥异的数学分支。[10]

rk(N) 的具体大小[编辑]

rk(N) 的确切增长速度仍然未知。目前所知的上下界为

其中 欧布莱恩（Kevin O'Bryant) 证出了上述的下界[11] ，其证明建基于贝哈连德（Felix Behrend)[12]、罗伯特·蓝钦（英语：Robert Alexander Rankin）[13]，以及埃尔金（Michael Elkin) [14][15]先前的成果。上界由高尔斯证出。[9]

对于较小的 k, 可以找到比起一般情况更紧的上下界。当 k = 3 时，布尔甘[16][17]、希思-布朗 (Roger Heath-Brown)[18]、塞迈雷迪[19]，以及汤·桑德斯（英语：Tom Sanders (mathematician)）[20]依次给出了愈来愈好的下界。目前所知的上下界为

两边的界限分别由欧布莱恩[11] 和布鲁姆（Thomas Bloom) [21] 给出。

当 k = 4 时，本·格林（英语：Ben Green (mathematician)）和陶哲轩[22][23] 证明了存在 c > 0 使得

推广[编辑]

希勒尔·菲尔斯滕贝格和伊扎克·卡茨内勒松（英语：Yitzhak Katznelson）利用遍历理论整明了塞迈雷迪定理的高维推广。[24] 高尔斯[25]、沃伊杰赫·勒德尔（英语：Vojtěch Rödl）和约泽夫·斯科肯 (Jozef Skokan) [26][27] ，以及布兰登·纳格 (Brendan Nagle)、 勒德尔和马蒂亚斯·沙赫特（英语：Mathias Schacht）[28] ，和陶哲轩[29]给出了各自的组合学证明。

亚历山大·莱布门 (Alexander Leibman) 和维塔利·别尔格尔松（英语：Vitaly Bergelson）[30] 给出定理对多项式列的推广：若 的上密度为正，且 为满足 的整值多项式（英语：Integer-valued polynomial），则存在无穷多组 使得对都有 莱布门和别尔格尔松的结果同样适用于高维的情况。

塞迈雷迪定理的有限性版本可推广至有限的加法群上，例如有限域上的向量空间。[31] 定理在有限域上的类比，是有助理解原定理（在正整数集上）的模型。[32] 所谓封顶集（英语：Cap set）问题，就是要找出向量空间 所包含的无 3 项等差数列的最大子集的大小，即塞迈雷迪定理当 k = 3 时的界限。

格林-陶定理断言，存在任意长的质数等差数列。此结论不能由塞迈雷迪定理推出，因为质数集的密度为 0. 本·格林（英语：Ben Green (mathematician)）和陶哲轩在其证明中引入了“相对性”（英语：relative) 的塞迈雷迪定理，该定理适用于任意具特定伪随机性的整数子集（允许密度为 0)。大卫·康伦（英语：David Conlon），雅各布·福克斯（英语：Jacob Fox）和赵宇飞[33] (Yufei Zhao)其后亦给出了适用于更一般情况的相对性塞迈雷迪定理。[34][35]

埃尔德什等差数列猜想（断言倒数和发散的集合，必有任意长的等差数列）可以推出塞迈雷迪定理和格林-陶定理。

参见[编辑]

参考资料[编辑]

  1. ^ Erdős, Paul; Turán, Paul. On some sequences of integers (PDF). Journal of the London Mathematical Society. 1936, 11 (4): 261–264 [2019-06-17]. MR 1574918. doi:10.1112/jlms/s1-11.4.261. （原始内容存档 (PDF)于2020-07-23）. 
  2. ^ Roth, Klaus Friedrich. On certain sets of integers. Journal of the London Mathematical Society. 1953, 28 (1): 104–109. MR 0051853. Zbl 0050.04002. doi:10.1112/jlms/s1-28.1.104. 
  3. ^ Szemerédi, Endre. On sets of integers containing no four elements in arithmetic progression. Acta Math. Acad. Sci. Hung. 1969, 20: 89–104. MR 0245555. Zbl 0175.04301. doi:10.1007/BF01894569. 
  4. ^ Roth, Klaus Friedrich. Irregularities of sequences relative to arithmetic progressions, IV. Periodica Math. Hungar. 1972, 2: 301–326. MR 0369311. doi:10.1007/BF02018670. 
  5. ^ Szemerédi, Endre. On sets of integers containing no k elements in arithmetic progression (PDF). Acta Arithmetica. 1975, 27: 199–245 [2019-06-17]. MR 0369312. Zbl 0303.10056. doi:10.4064/aa-27-1-199-245. （原始内容存档 (PDF)于2020-12-10）. 
  6. ^ Erdős, Paul. Graham, Ronald L.; Nešetřil, Jaroslav; Butler, Steve , 编. The Mathematics of Paul Erdős I Second. New York: Springer: 51–70. 2013. ISBN 978-1-4614-7257-5. MR 1425174. doi:10.1007/978-1-4614-7258-2_3.  |chapter=被忽略 (帮助)
  7. ^ Furstenberg, Hillel. Ergodic behavior of diagonal measures and a theorem of Szemerédi on arithmetic progressions. J. D'Analyse Math. 1977, 31: 204–256. MR 0498471. doi:10.1007/BF02813304. .
  8. ^ Furstenberg, Hillel; Katznelson, Yitzhak; Ornstein, Donald Samuel. The ergodic theoretical proof of Szemerédi’s theorem. Bull. Amer. Math. Soc. 1982, 7 (3): 527–552. MR 0670131. doi:10.1090/S0273-0979-1982-15052-2. 
  9. ^ 9.0 9.1 Gowers, Timothy. A new proof of Szemerédi's theorem. Geom. Funct. Anal. 2001, 11 (3): 465–588 [2019-06-17]. MR 1844079. doi:10.1007/s00039-001-0332-9. （原始内容存档于2020-09-26）. 
  10. ^ Tao, Terence. Sanz-Solé, Marta; Soria, Javier; Varona, Juan Luis; Verdera, Joan , 编. International Congress of Mathematicians 1. Zürich: European Mathematical Society: 581–608. 2007. MR 2334204. arXiv:math/0512114 可免费查阅. doi:10.4171/022-1/22.  |chapter=被忽略 (帮助)
  11. ^ 11.0 11.1 O'Bryant, Kevin. Sets of integers that do not contain long arithmetic progressions. Electronic Journal of Combinatorics. 2011, 18 (1) [2019-06-17]. MR 2788676. （原始内容存档于2018-05-03）. 
  12. ^ Behrend, Felix A. On the sets of integers which contain no three terms in arithmetic progression. Proceedings of the National Academy of Sciences. 1946, 23 (12): 331–332. Bibcode:1946PNAS...32..331B. MR 0018694. PMC 1078539 可免费查阅. PMID 16588588. Zbl 0060.10302. doi:10.1073/pnas.32.12.331. 
  13. ^ Rankin, Robert A. Sets of integers containing not more than a given number of terms in arithmetical progression. Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A. 1962, 65: 332–344. MR 0142526. Zbl 0104.03705. 
  14. ^ Elkin, Michael. An improved construction of progression-free sets. Israel Journal of Mathematics. 2011, 184 (1): 93–128. MR 2823971. arXiv:0801.4310 可免费查阅. doi:10.1007/s11856-011-0061-1. 
  15. ^ Green, Ben; Wolf, Julia. Chudnovsky, David; Chudnovsky, Gregory , 编. Additive number theory. Festschrift in honor of the sixtieth birthday of Melvyn B. Nathanson. New York: Springer: 141–144. 2010. ISBN 978-0-387-37029-3. MR 2744752. arXiv:0810.0732 可免费查阅. doi:10.1007/978-0-387-68361-4_9.  |chapter=被忽略 (帮助)
  16. ^ Bourgain, Jean. On triples in arithmetic progression. Geom. Funct. Anal. 1999, 9 (5): 968–984. MR 1726234. doi:10.1007/s000390050105. 
  17. ^ Bourgain, Jean. Roth's theorem on progressions revisited. J. Anal. Math. 2008, 104 (1): 155–192. MR 2403433. doi:10.1007/s11854-008-0020-x. 
  18. ^ Heath-Brown, Roger. Integer sets containing no arithmetic progressions. Journal of the London Mathematical Society. 1987, 35 (3): 385–394. MR 0889362. doi:10.1112/jlms/s2-35.3.385. 
  19. ^ Szemerédi, Endre. Integer sets containing no arithmetic progressions. Acta Math. Hungar. 1990, 56 (1–2): 155–158. MR 1100788. doi:10.1007/BF01903717. 
  20. ^ Sanders, Tom. On Roth's theorem on progressions. Annals of Mathematics. 2011, 174 (1): 619–636. MR 2811612. arXiv:1011.0104 可免费查阅. doi:10.4007/annals.2011.174.1.20. 
  21. ^ Bloom, Thomas F. A quantitative improvement for Roth's theorem on arithmetic progressions. Journal of the London Mathematical Society. Second Series. 2016, 93 (3): 643–663. MR 3509957. arXiv:1405.5800 可免费查阅. doi:10.1112/jlms/jdw010. 
  22. ^ Green, Ben; Tao, Terence. Chen, William W. L.; Gowers, Timothy; Halberstam, Heini; Schmidt, Wolfgang; Vaughan, Robert Charles , 编. Analytic number theory. Essays in honour of Klaus Roth on the occasion of his 80th birthday. Cambridge: Cambridge University Press: 180–204. 2009. Bibcode:2006math.....10604G. ISBN 978-0-521-51538-2. MR 2508645. Zbl 1158.11007. arXiv:math/0610604 可免费查阅.  |chapter=被忽略 (帮助)
  23. ^ Green, Ben; Tao, Terence. New bounds for Szemerédi's theorem, III: A polylogarithmic bound for r4(N). Mathematika. 2017, 63 (3): 944–1040. MR 3731312. arXiv:1705.01703 可免费查阅. doi:10.1112/S0025579317000316. 
  24. ^ Furstenberg, Hillel; Katznelson, Yitzhak. An ergodic Szemerédi theorem for commuting transformations. Journal d'Analyse Mathématique. 1978, 38 (1): 275–291. MR 0531279. doi:10.1007/BF02790016. 
  25. ^ Gowers, Timothy. Hypergraph regularity and the multidimensional Szemerédi theorem. Annals of Mathematics. 2007, 166 (3): 897–946. MR 2373376. arXiv:0710.3032 可免费查阅. doi:10.4007/annals.2007.166.897. 
  26. ^ Rödl, Vojtěch; Skokan, Jozef. Regularity lemma for k-uniform hypergraphs. Random Structures Algorithms. 2004, 25 (1): 1–42. MR 2069663. doi:10.1002/rsa.20017. 
  27. ^ Rödl, Vojtěch; Skokan, Jozef. Applications of the regularity lemma for uniform hypergraphs. Random Structures Algorithms. 2006, 28 (2): 180–194. MR 2198496. doi:10.1002/rsa.20108. 
  28. ^ Nagle, Brendan; Rödl, Vojtěch; Schacht, Mathias. The counting lemma for regular k-uniform hypergraphs. Random Structures Algorithms. 2006, 28 (2): 113–179. MR 2198495. doi:10.1002/rsa.20117. 
  29. ^ Tao, Terence. A variant of the hypergraph removal lemma. Journal of Combinatorial Theory, Series A. 2006, 113 (7): 1257–1280. MR 2259060. arXiv:math/0503572 可免费查阅. doi:10.1016/j.jcta.2005.11.006. 
  30. ^ Bergelson, Vitaly; Leibman, Alexander. Polynomial extensions of van der Waerden's and Szemerédi's theorems. Journal of the American Mathematical Society. 1996, 9 (3): 725–753. MR 1325795. doi:10.1090/S0894-0347-96-00194-4. 
  31. ^ Furstenberg, Hillel; Katznelson, Yitzhak. A density version of the Hales–Jewett theorem. Journal d'Analyse Mathématique. 1991, 57 (1): 64–119. MR 1191743. doi:10.1007/BF03041066. 
  32. ^ Wolf, Julia. Finite field models in arithmetic combinatorics—ten years on. Finite Fields and Their Applications. 2015, 32: 233–274. MR 3293412. doi:10.1016/j.ffa.2014.11.003. 
  33. ^ Yufei Zhao. Origin of my name. [2019-06-17]. （原始内容 (html)存档于2019-06-17）. 叫宇飞 
  34. ^ Conlon, David; Fox, Jacob; Zhao, Yufei. A relative Szemerédi theorem. Geometric and Functional Analysis. 2015, 25 (3): 733–762. MR 3361771. arXiv:1305.5440 可免费查阅. doi:10.1007/s00039-015-0324-9. 
  35. ^ Zhao, Yufei. An arithmetic transference proof of a relative Szemerédi theorem. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 2014, 156 (2): 255–261. Bibcode:2014MPCPS.156..255Z. MR 3177868. arXiv:1307.4959 可免费查阅. doi:10.1017/S0305004113000662. 

延申阅读[编辑]

外部链接[编辑]

取自“https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=塞邁雷迪定理&oldid=76672972”