扭歪多面体
在几何学中，扭歪[1][2]多面体（英语：Skew polyhedron）是指顶点、边或面并非全部位于同一个三维空间中的多面体，即扭歪多边形的高一维类比，因此其无法找到一个唯一的内部区域以及其体积。
正扭歪多面体代表每个面全等、每条边等长、每个角都相等的扭歪多面体，是一系列可能具有非平面的面或顶点图。考克斯特的研究着重于具有扭歪顶点图新的四维多面体，后期多由布兰科·格林鲍姆研究有扭歪面的形状[4]。
具有无限多个面的扭歪多面体称为扭歪无限面体。除了扭歪无限面体之外的扭歪多面体仅能存在于四维或以上的空间。
历史
[编辑]关于考克斯特，1926年时，约翰·弗林德斯·皮特里将扭歪多边形（非平面多边形）的概念广义化。
考克斯特针对这种图提出一个施莱夫利符号的扩展符号 {l,m|n} ，其中以{l,m}表示其顶点：每个顶点都是m个l边形的公共顶点。他们的顶点图是扭歪多边形，以锯齿的形式存在于两个面中。
能表示为{l,m|n}的正扭歪多面体存在以下等式：
第一系列的{l,m|n}正扭歪多面体与五个正多面体和一个星形正多面体相关：
| {l, m | n} | 面 | 边 | 顶点 | p | 多面体 | 对称性 阶数 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| {3,3|3} = {3,3} | 4 | 6 | 4 | 0 | 正四面体 | 12 |
| {3,4|4} = {3,4} | 8 | 12 | 6 | 0 | 正八面体 | 24 |
| {4,3|4} = {4,3} | 6 | 12 | 8 | 0 | 立方体 | 24 |
| {3,5|5} = {3,5} | 20 | 30 | 12 | 0 | 正二十面体 | 60 |
| {5,3|5} = {5,3} | 12 | 30 | 20 | 0 | 正十二面体 | 60 |
| {5,5|3} = {5,5/2} | 12 | 30 | 12 | 4 | 大十二面体 | 60 |
四维的正扭歪多面体
[编辑]| A4 考克斯特平面投影 | |
|---|---|
|
|
| {4, 6 | 3} | {6, 4 | 3} |
| 截半五胞体 (60条边、20个顶点) |
过截角五胞体 (60条边、30个顶点) |
| F4 考克斯特平面投影 | |
|
|
| {4, 8 | 3} | {8, 4 | 3} |
| 截半二十四胞体 (576条边、144个顶点) |
过截角二十四胞体 (576条边、288个顶点) |
| 一些位于半正多胞体中的四维扭歪多面体的投影 | |
考克斯特在他的论文《三维和四维空间的正扭歪多面体及其类似物》[5]中列出了较多的一系列扭歪多面体。
| {l, m | n} | 面 | 边 | 顶点 | p | 结构 | 对称性 | 阶数 | 相关半正多胞体 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| {4,4| 3} | 9 | 18 | 9 | 1 | D3xD3 | [[3,2,3]+] | 9 | 3-3 超柱体 |
| {4,4| 4} | 16 | 32 | 16 | 1 | D4xD4 | [[4,2,4]+] | 16 | 4-4 超柱体 或 超立方体 |
| {4,4| 5} | 25 | 50 | 25 | 1 | D5xD5 | [[5,2,5]+] | 25 | 5-5 超柱体 |
| {4,4| 6} | 36 | 72 | 36 | 1 | D6xD6 | [[6,2,6]+] | 36 | 6-6 超柱体 |
| {4,4| n} | n2 | 2n2 | n2 | 1 | DnxDn | [[n,2,n]+] | n2 | n-n 超柱体 |
| {4,6| 3} | 30 | 60 | 20 | 6 | S5 | [[3,3,3]+] | 60 | 截半五胞体 |
| {6,4| 3} | 20 | 60 | 30 | 6 | S5 | [[3,3,3]+] | 60 | 过截角五胞体 |
| {4,8| 3} | 288 | 576 | 144 | 73 | [[3,4,3]+] | 576 | 截半二十四胞体 | |
| {8,4| 3} | 144 | 576 | 288 | 73 | [[3,4,3]+] | 576 | 截半二十四胞体 |
| {l, m | n} | 面 | 边 | 顶点 | p | 结构 | 对称性 | 阶数 | 相关的多胞体 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| {4,5| 5} | 90 | 180 | 72 | 10 | A6 | [[5/2,5,5/2]+] | 360 | 截半大星形一百二十胞体 |
| {5,4| 5} | 72 | 180 | 90 | 10 | A6 | [[5/2,5,5/2]+] | 360 | 过截角大星形一百二十胞体 |
参见
[编辑]参考文献
[编辑]- Peter McMullen, Four-Dimensional Regular Polyhedra[永久失效链接], Discrete & Computational Geometry September 2007, Volume 38, Issue 2, pp 355-387
- Coxeter, Regular Polytopes, Third edition, (1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
- Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- (Paper 2) H.S.M. Coxeter, "The Regular Sponges, or Skew Polyhedra", Scripta Mathematica 6 (1939) 240-244.
- (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8
- Coxeter, H. S. M. Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions. Proc. London Math. Soc. 43, 33-62, 1937.
- Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179-1186, 1967.
- Schulte, Egon and Wills, Jörg M. On Coxeter's regular skew polyhedra. Discrete mathematics (Elsevier). 1986, 60: 253–262 [2016-08-01]. （原始内容存档于2020-07-12）.
- ^ 400年ぶりに新種の「対称性多面体」構造が発見される. gigazine.net. 2014-02-22 [2016-07-16]. （原始内容存档于2020-11-19）.
- ^ 扭歪の意味. Weblio日中中日辞典. [2024-04-23]. （原始内容存档于2013-07-20）.
- ^ McMullen, Peter; Schulte, Egon, Abstract Regular Polytopes 1st, Cambridge University Press, December 2002, ISBN 0-521-81496-0 p. 25
- ^ Abstract Regular Polytopes[3] , p.7, p.17
- ^ Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues, Proceedings of the London Mathematics Society, Ser. 2, Vol 43, 1937.
