垂足曲线

垂足曲线

在曲线微分几何中，踩踏板曲线是从给定曲线所创造的曲线，构造方法像自行车用脚踩踏在原有曲线上，故称为踩踏板曲线，又译作垂足曲线。给定一个曲线和一个定点P（称为垂足点或踩踏点(Pedal Point)）。在曲线的任何一条切线T上，都存在唯一的一个点X，要么是P本身，要么与P形成的直线与T垂直。垂足曲线是符合这种性质的所有点X所组成的集合。

垂足曲线不一定是连通的，例如对于多边形来说，它仅仅是一些孤立的点。

如果P是垂足点，c是曲线的一个参数方程，则垂足曲线的参数方程为：

$t\mapsto c(t)+{\langle c'(t),P-c(t)\rangle \over |c'(t)|^{2}}c'(t)$

如果垂足点是原点，则垂足曲线为：

$X[x,y]={\frac {(xy'-yx')y'}{x'^{2}+y'^{2}}}$

$Y[x,y]={\frac {(yx'-xy')x'}{x'^{2}+y'^{2}}}$

一些例子

椭圆的垂足曲线

给定的曲线	垂足点	垂足曲线
直线	任意	点
圆	圆周上	心脏线
抛物线	焦点	直线
其它圆锥曲线	焦点	圆
对数螺线	极点	相等的对数螺线
外摆线或内摆线	中心	玫瑰线
圆的渐伸线	圆心	阿基米德螺线

参考文献

• Gray, A. "Pedal Curves." §5.8 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 117-125, 1997.
• Lawrence, J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, pp. 46-49 and 204, 1972.
• Lockwood, E. H. "Pedal Curves." Ch. 18 in A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 152-155, 1967.
• Yates, R. C. "Pedal Curves." A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 160-165, 1952.

外部链接

• Mathworld（页面存档备份，存于互联网档案馆）