在数学上,谢尔宾斯基空间(Sierpiński space,又称两点连通空间(connected two-point set))是一个包含两个元素的有限拓朴空间,其中只有一个元素是闭合的。[1]这个空间是所有非密着且非离散的拓朴空间中最小的,而这空间以波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基的姓氏为名。
因为谢尔宾斯基空间在斯科特拓朴当中,是开集的分类空间(classifying space)之故,因此这集合在可计算性理论和语意处理上有重要的应用。[2][3]
谢尔宾斯基空间
是一个其点集合为
的拓朴空间,其所有的开集如下:
![{\displaystyle \{\varnothing ,\{1\},\{0,1\}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05c1c251c7f1602f6bdb47e9733015fdbc8b41b9)
其所有的闭集如下:
![{\displaystyle \{\varnothing ,\{0\},\{0,1\}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e563f8af8a4c9e6eb9fc0ef38b478b723e5a0d)
也就是说,其单点集
是闭集,而其单点集
是开集,另外此处的
代表空集合。
此空间的闭包如下:
![{\displaystyle {\overline {\{0\}}}=\{0\},\qquad {\overline {\{1\}}}=\{0,1\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23b878a8c637762024cdb94901155166b7022552)
一个有限的拓朴空间亦可由其特殊化预序唯一定义,当中,这预序是一个偏序,其形式如下:
![{\displaystyle 0\leq 0,\qquad 0\leq 1,\qquad 1\leq 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb5e48a256611304525176c1208e791f80ceb2c0)
谢尔宾斯基空间
是特定点拓朴(particular point topology)(谢尔宾斯基空间的特定点为1)和排除点拓朴(excluded point topology)(谢尔宾斯基空间的排除点为0)的一个特殊例子,因此谢尔宾斯基空间和这两类拓朴空间有许多共通之处。
- 在谢尔宾斯基空间中,0和1这两点是拓扑可区分的,这是因为
是一个只包含这两者其中一点的开集之故,因此谢尔宾斯基空间是一个柯尔莫果洛夫空间(
空间)。
- 然而谢尔宾斯基空间不是一个
空间,这是因为
这个单点集不是闭集之故,也因此谢尔宾斯基空间不是豪斯多夫空间或
空间(其中
)。
- 然而谢尔宾斯基空间不是正则空间或完全正则空间,这是因为1这个点及其不相交集合
不能以邻域分离之故(另外点能以邻域分离的
空间是豪斯多夫空间)。
- 然而谢尔宾斯基空间可视为正规空间和完全正规空间,这是因为这空间中没有非空的分离集合所致。
- 然而谢尔宾斯基空间不是完美正规空间,这是因为其彼此不相交的闭合
和
无法由函数完全分离所致。事实上,谢尔宾斯基空间的
不能是任何连续函数
的零集(zero set),而这是因为任何这样的连续函数都是常函数所致。
- 谢尔宾斯基空间同时是个超连通空间(Hyperconnected space)(这是因为其所有的非空开集都包含1所致)和特连通空间(Ultraconnected space)(这是因为其所有的非空闭集都包含0所致)。
- 谢尔宾斯基空间是个连通空间和道路连通空间。
- 一条连通谢尔宾斯基空间当中的0和1的道路
可定义如次:
且对于所有的
而言
,这个函数是连续的,因为
在
是开集。
- 和所有的有限拓朴空间一样,谢尔宾斯基空间是个局部道路连通空间。
- 谢尔宾斯基空间是个可压缩空间(contractible space),因此其基本群是个当然群(这点对高阶同伦群(higher homotopy groups)也成立)。
- 和所有有限拓朴空间一样,谢尔宾斯基空间是个紧致空间和第二可数空间。
- 谢尔宾斯基空间的紧子集
不是闭集,而这显示了
空间的紧集不必然是闭集。
- 任何谢尔宾斯基空间的开覆盖都必然包含谢尔宾斯基空间本身,这是因为谢尔宾斯基空间为0的唯一的开邻域之故,因此任何的谢尔宾斯基空间的开覆盖都有包含一个集合的子覆盖,就是
。
- 而这表示说谢尔宾斯基空间是个满正规空间(fully normal space,仿紧空间的一个子类)。[4]
- 任何谢尔宾斯基空间当中的序列都收敛至0,这是因为在谢尔宾斯基空间当中,0唯一的邻域是谢尔宾斯基空间本身。
- 在谢尔宾斯基空间当中一个序列收敛至1,当且仅当该序列仅有有限多项为0。
- 在谢尔宾斯基空间当中,1是某序列的一个聚集点,当且仅当该序列包含无限多项的1。
- 例子如下:
- 1不是
这序列的聚集点。
- 1是
这序列的聚集点1,但并非极限点。
这序列同时收敛至0和1。
- 谢尔宾斯基空间不是可度量化的空间,甚至也不是可伪度量化的空间,这是因为任何伪度量化的空间都必须是完全正则空间,而谢尔宾斯基空间就连正则空间都不是之故。
- 谢尔宾斯基空间可由伪拟度量生成,其中
且
。
- 谢尔宾斯基空间只有三个映至自身的连续函数:恒等函数、两个分别映至0和1的常函数。
- 而这表示说谢尔宾斯基空间的同胚群(英语:homeomorphism group)是当然群。
设
是一个任意集合,那么一般会将所有从
映至
的函数的集合给记做
,这些函数即是
的指示函数,所有的指示函数都有如下的形式:
![{\displaystyle \chi _{U}(x)={\begin{cases}1&x\in U\\0&x\not \in U\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9718391f89272b4a16405c5b9bb030b381a44540)
在其中
是
的一个子集。换句话说
这个函数的集合和
的幂集
间,有着双射的关系。每个
的子集
都有自己的指示函数
,而每个从
映至
的函数都有如此的形式。
现在假定
是个拓朴空间,而
有着谢尔宾斯基拓朴,那么
是个连续函数,当且仅当
在
中是个开集;然而根据定义,我们有
![{\displaystyle \chi _{U}^{-1}(1)=U.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07e5cdf1f491cdf0883bff25c8b99ea9733b7c0c)
因此
是个连续函数,当且仅当
在
中是个开集。
假定
是所有从
映至
的连续函数的集合,并假定
是
的拓朴(也就是所有开集的集族),那么就存在一个从
映至
的双射,这映射会将
映至
之上。
![{\displaystyle C(X,S)\cong {\mathcal {T}}(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26f11c80bc4c1bbbe1ef84265ae14f1a6b6b5016)
也就是说,假若将
和
对等,那么其连续映射的子集
会是
的拓朴。
一个特别值得注意的例子是在对偏序集合的斯科特拓朴中,谢尔宾斯基空间会在指示函数保持定向连接(directed join)的状况下,成为其开集的分类空间。[5]
上述的结构可以用范畴论的语言很好地表达。有个从拓扑空间范畴到集合范畴的反变函子
将每个拓朴空间
给指派给其开集的集合
,并将每个连续函数
给指派给其原像:
![{\displaystyle f^{-1}:{\mathcal {T}}(Y)\to {\mathcal {T}}(X).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0597768ddaca4e415188cbe805adff4eabf7421)
而相关叙述如下:
这个函子由
表示,其中
为谢尔宾斯基空间,也就是说,
和同态函子(Hom functor)
间有着自然同构,而这自然同构由泛元素
决定,而这可由预层的概念一般化。[6]
任何的拓朴空间
都有由映至谢尔宾斯基空间的连续函数的集族
所引致的初拓扑。事实上,若要将
的拓朴变得更加粗糙,那就必须将一些开集给移除;然而若将开集
给移除,那么
这个函数就会变得不连续,因此在
当中的每个函数都连续的情况下,
有着最粗糙的拓朴。
函数的集族
区分
上的点,当且仅当
是个
空间。
和
这两点可由指示函数
区分,当且仅当开集
包含其中一点但不同时包含两者。这也就是
和
拓朴可区分的确实含意。
也就是说,若
是个
空间,那就可以将
给嵌入谢尔宾斯基空间的积空间中,在其中对于每个
的开集
而言,都有一个
的复本与之对应。其嵌入函数
![{\displaystyle e:X\to \prod _{U\in {\mathcal {T}}(X)}S=S^{{\mathcal {T}}(X)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a012fe42a518057726a3ecb4ffa89e643badfca)
可由下列函数得出:
![{\displaystyle e(x)_{U}=\chi _{U}(x).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae6af8ca20291bb39be966373aa0f1f7fd39b9d7)
由于
空间的子空间和积空间还是
空间之故,因此一个拓朴空间是
空间,当且仅当其与谢尔宾斯基空间的积空间的某个子空间同胚。
在代数几何中,谢尔宾斯基空间会作为
(整数在质数
生成的素理想上的局部化)之类的离散赋值环(Discrete valuation ring)
的谱
出现。其中
起自零理想的一般点(generic point)会对应至开集点1;而
起自极大理想的特殊点(special point)会对应至闭集点0。
- 有限拓朴空间(Finite topological space)
- 拓朴列表(List of topologies)
- 伪圆(Pseudocircle)
- ^ nLab的Sierpinski space条目
- ^ 一篇网络文章解释了为何拓朴学可用在电脑科学中对“概念”的研究之上,详情可见Alex Simpson的《Mathematical Structures for Semantics (页面存档备份,存于互联网档案馆)》一文的第三章《Topological Spaces from a Computational Perspective (页面存档备份,存于互联网档案馆)》,其中的“参照”一节提供了许多网络上关于域理论的文章。
- ^ Escardó, Martín. Synthetic topology of data types and classical spaces. Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87. Elsevier. 2004.
- ^ Steen和Seebach二氏错误地认为谢尔宾斯基空间不是满正规空间(或以其术语来说,不是满
空间)。
- ^ nLab的Scott topology条目
- ^ Saunders MacLane, Ieke Moerdijk, Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory, (1992) Springer-Verlag Universitext ISBN 978-0387977102