高过剩数

高过剩数（highly abundant number）是指一正整数．其除数函数（含本身的所有约数和）大于所有较小正整数的除数函数。

高过剩数及一些有类似特性的整数最早是由皮莱在1943年提出的，莱昂尼达斯·Alaoglu及保罗·埃尔德什进行了一些相关的研究．列出了所有小于10⁴的高过剩数，并证明小于整数N的高过剩数个数至少和log² N成正比。他们也证明了7200是高过剩数中最大的幂数，也是其有奇数个约数的最大高过剩数。

定义及举例

自然数n为高过剩数，当且仅当对于所有小于n的自然数m，下式恒成立：

$\sigma (n)>\sigma (m)$

其中σ为除数函数。

头几个高过剩数为：

1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 42, 48, 60, ... （OEIS数列A002093）.

以5为例，σ(5) = 5+1 = 6小于σ(4) = 4 + 2 + 1 = 7，因此5不是高过剩数，而σ(8) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15大于所有较小正整数的除数函数，因此8是高过剩数。

和其他整数的关系

虽然前8个阶乘的结果都是高过剩数，不过不是所有阶乘的结果均为高过剩数

σ(9!) = σ(362880) = 1481040,

但有数字较9!小，而除数函数比σ(9!)大

σ(360360) = 1572480,

因此9!不是高过剩数。

Alaoglu及保罗·埃尔德什发现所有的超过剩数都是高过剩数，因此提出一个问题：是否存在着无限多个不是超过剩数的高过剩数。数学家尼可拉斯在1969年证实了上述的问题。

高过剩数和过剩数名称中都有“过剩数”一词，其中也有一些数字重复，但不是所有的高过剩数都是过剩数，前7个高过剩数都不是过剩数，也不是所有的过剩数都是高过剩数，例如数字40为过剩数，不是高过剩数。