截面 (纖維叢)
![本頁使用了標題或全文手工轉換](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cd/Zh_conversion_icon_m.svg/35px-Zh_conversion_icon_m.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/90/Bundle_section.svg/220px-Bundle_section.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Vector_field.svg/220px-Vector_field.svg.png)
在數學之拓撲學領域中,拓撲空間 B 上纖維叢 π: E → B 的一個截面或橫截面(section 或 cross section),是一個連續映射 s : B → E,使得對 x 屬於 B 有 π(s(x))=x。
從函數圖像開始
[編輯]截面是函數圖像概念的某種推廣。一個函數 g : X → Y 的圖像可以等價於取值為 X 與 Y 的笛卡兒積的一個函數:
一個截面是什麼是一個函數圖像的抽象刻劃。令 π : E → X 是到第一個分量的投影:π(x,y) = x,則一個圖是任何使得 π(f(x))=x 的函數。
纖維叢的語言保證了截面的概念可以推廣到當 E 不必為一個笛卡兒積的情形。如果 π : E → B 是一個纖維叢,則一個截面是在每個纖維中選取一個點 f(x) 。條件 π(f(x)) = x 不過意味著在點 x 處的截面必須在 x 上(見右上圖)。
例如,當 E 是一個向量叢,E 的一個截面是在每一點 x ∈ B 上的向量空間 Ex 中有一個元素。特別地,光滑流形 M 上一個向量場是在 M 的每一點選取一個切向量:這是 M 的切線束的一個截面。類似地,M 上一個 1-形式是餘切叢的一個截面。
局部截面
[編輯]纖維叢一般不一定有如上的整體截面,從而定義局部截面也是有用的。纖維叢的一個局部截面(local section)是一個連續函數 f : U → E,其中 U 是 B 的一個開集,並滿足 π(f(x))=x 對所有 x ∈ U。如果 (U, φ) 是 E 的一個局部平凡化,這裡 φ 是從 π-1(U) 到 U × F 一個同胚(這裡 F 是纖維),在 U 上的整體截面總存在且一一對應於從 U 到 F 的連續函數。局部截面形成了 B 上一個層,稱為 E 的截面層(sheaf of sections)。
一個纖維叢 E 在 U 上的連續截面有時記成 C(U,E),而 E 的整體截面通常記做 Γ(E) 或 Γ(B,E)。
截面在同倫論與代數拓撲中都有研究,其中一個主要目標是確定整體截面的存在性或不存在性。這導向了層餘調和示性類理論。例如,一個主叢有一個整體截面若且唯若它是平凡的。另一方面,一個向量叢總有一個整體截面,即零截面。但只有當它的歐拉類為零時,才有在任何地方都不為零的整體截面。關於向量場的零點可參見龐加萊-霍普夫定理。
光滑截面
[編輯]截面,特別是對主叢和向量叢,是微分幾何中的重要工具。在這種情形,底空間 B 是一個光滑流形 M,而 E 總假設是 M 上一個光滑纖維叢(即 E 是一個光滑流形且投影 π: E → M 是一個光滑映射)。此時,我們考慮 E 在一個開集 U 上的光滑截面,記做 C∞(U,E)。在幾何分析中,考慮具有中等正則性的截面也是有用的。例如 Ck 截面,或滿足赫爾德條件或索伯列夫空間的截面。
另見
[編輯]參考文獻
[編輯]- Norman Steenrod, The Topology of Fibre Bundles, Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6.
- David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, Addison-Wesley publishing, Reading, Mass (1981). ISBN 0-201-10096-7.
外部連結
[編輯]- Fiber Bundle, PlanetMath
- 埃里克·韋斯坦因. Fiber Bundle. MathWorld.