策梅洛-弗蘭克爾集合論

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策梅洛-弗蘭克爾集合論(Zermelo-Fraenkel Set Theory),含選擇公理時常簡寫為ZFC,是在數學基礎中最常用形式的公理化集合論,不含選擇公理的則簡寫為ZF

介紹[編輯]

ZFC構成自一個單一的基本本體論概念集合,和一個單一的本體論假定,就是在論域中所有的個體(就是所有數學對象)都是集合。有一個單一的基本二元關係集合成員關係;集合a是集合b的成員寫為a b(通常讀做"a是b的元素")。ZFC是一階理論,所以ZFC包括後台邏輯是一階邏輯公理。這些公理支配了集合的行為和交互。ZFC是標準形式的公理化集合論。使用ZFC的大量的正在進行中的普通數學推導請參見Metamath在線計劃。

在1908年,恩斯特·策梅洛提議了第一個公理化集合論策梅洛集合論。這個公理化理論不允許構造序數;而多數「普通數學」不使用序數就不能被開發,序數在多數集合論研究中是根本工具。此外,Zermelo的一個公理涉及「明確性」性質的概念,它的操作性意義是有歧義的。在1922年,亞伯拉罕·弗蘭克爾英語Abraham Fraenkel陶拉爾夫·斯科倫英語Thoralf Skolem獨立的提議了定義「明確性」性質為可以在一階邏輯中公式化的任何性質,從他們的工作促成了替代公理。Zermelo集合論接受替代公理和正規公理,產生了被稱呼為ZF的這個集合論。

向ZF增加選擇公理產生了ZFC。在數學成果要求選擇公理的時候,有時明顯的這麼聲明。這麼單提出AC的原因是AC天生的,是非構造性的;它確立一個集合(選擇集合)的存在,而不規定如何構造這個集合。所以使用AC證明的結果涉及儘管可以證明其存在(如果你不忠於構造主義本體論的話),但可能永遠都不能構造出來的集合。

ZFC有無窮多個公理,因為替代公理實際上是公理模式。已知ZFC和ZF集合論二者都不能用有限數目個公理來公式化,這最先由Richard Montague證實。在另一方面,馮諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論(Von Neumann–Bernays–Gödel, NBG)可以有限的公理化。NBG的本體論同集合一樣包括;類是有成員但不是其他類的成員的實體。NBG和ZFC是等價的集合論,在關於集合(就是說不以任何方式提及類)的任何定理在一個理論中可以證明,就可以在另一個理論中證明。

依據哥德爾第二不完備定理,ZFC的相容性不能在ZFC自身之內證明。ZFC的廣延等同於普通數學,所以ZFC的相容性不能在普通數學中證明。ZFC的相容性可從弱不可及基數的存在而得出,它是其存在不能在ZFC中證明的某種東西。但是幾乎沒有人懷疑ZFC有什麼未被發覺的矛盾;如果ZFC是不自洽的,早就該被發掘出來。這是確定無疑的:ZFC免除了樸素集合論的三大悖論,羅素悖論布拉利-福爾蒂悖論康托爾悖論

文獻中討論過的ZFC的缺陷包括:

  • 它比幾乎所有普通數學所要求的程度還要強(Saunders MacLane英語Saunders MacLaneSolomon Feferman英語Solomon Feferman這麼認為);
  • 相對於其他集合論的公理化,ZFC相對要弱。例如,它不允許全集(如新基礎)或類(如NBG)的存在;
  • Saunders MacLane英語Saunders MacLane範疇論的締造者之一)和其他人爭論說任何公理化集合論對於實際上的數學工作方式而言都是不正當的。依據他的觀點,數學不是關於抽象對象的搜集和它們的性質的學科,而是關於結構和結構保持的映射的學科。

公理[編輯]

ZFC的公理有許多等價的公式[1]。下列的公理集合是由丘嫩於1980年提出的。公理本身以一階邏輯來敘述,之中的句子只是用來增加對邏輯描述的直覺概念。

1.外延公理[編輯]

Axiom of extensionality

兩個集合相等,若它們有相同的元素。

這個公理的逆敘述可以由等式的代替性中得到。若背景邏輯不包含等式「=」,x=y可以定義為如下公式的縮寫[2]

如此一來,外延公理可寫成:

xy有相同的元素,則它們屬於同一個集合[1]

2.正規公理[編輯]

Axiom of regularity / Axiom of foundation

每個非空集合x都包含一個成員y,使得xy不相交

3.分類公理[編輯]

z為一個集合,且為任一個描述z內元素x的特徵的性質,則存在z的子集y,包含z內滿足這個性質的x。這個「限制」可用來避免羅素悖論之類的悖論。更形式化地說,令為ZFC語言中的任一公式,具有等自由變數(即y內不是自由的),則

這個公理是Z的一部份,但在ZF中就顯得多餘,因為它可以由替代公理空集公理中導出。

由分類公理構成的集合通常使用集合建構式符號來標記。給定一集合z和具有一自由變數x的公式,則由所有在z內,滿足x所組成的集合,標記為

分類公理可以用來證明空集(標記為)的存在,只要至少已存在一個集合。通常的方法是找一個所有集合都沒有的性質。例如,設w是一個已存在的集合,而空集可定義為

.

若背景邏輯包含等式,也可定義空集為

.

因此,空集公理可由此處的九個公理中導出。外延公理還可證明空集是唯一的(不依賴w)。通常會以定義性擴展,將符號加至ZFC語言中。

4.配對公理[編輯]

Axiom of pairing

xy是集合,則存在一個集合包含x 和y

這個公理是Z的一部份,但在ZF中就顯得多餘,因為它可以由將替代公理應用至任意有兩個成員的集合上導出。此類集合的存在性可由將無窮公理冪集公理應用兩次至空集上得到。

5.聯集公理[編輯]

Axiom of union

對任一個集合,總存在一個集合A,包含每個為的某個成員的成員的集合。

6.替代公理[編輯]

Axiom schema of replacement

是ZFC語言內的任意公式,其自由變數,但B 則不是自由的。則:

較不形式地說,這個公理敘述:若一個可定義的函數f定義域為一集合,且對定義域的任一xf(x)也都是集合,則f值域會是一個集合的子集。這個限制被需要用來避免一些悖論。

7.無窮公理[編輯]

Axiom of infinity

,其中為某個集合,則存在一個集合X,使得空集X的成員,且當一個集合yX的成員時,也會是X的成員。

較口語地說,存在一個有無限多成員的集合X。滿足無窮公理的最小集合X馮諾伊曼序數ω,這個序數也可想成是自然數的集合

8.冪集公理[編輯]

Axiom of power set

。對任一個集合x,皆存在一個集合y,為x冪集父集x 的冪集為一個其成員為所有x的子集的類。

9.良序定理[編輯]

Well-ordering theorem

對任一集合X,總存在一個可良好排序X二元關係R。這意指著,RX上的全序關係,且X內每個非空子集R下都有一個最小元素。

若給定前八個公理,就可以找到許多個和第九個公理等價的敘述,最著名的則為選擇公理,其敘述如下:令X為一非空集合,則存在一從X映射至X內成員的聯集的函數(稱為「選擇函數」),可使得對所有的YX都會有f(Y) ∈ Y。因為當X有限集合時,選擇函數的存在性很容易由前八個公理中證出,所以選擇公理只在無限集合中有意義。選擇公理被認為是非結構的,因為它只聲明一個選擇集合的存在,但完全不講這個選擇集合是如何被「建構」出來的。

參見[編輯]

參考資料[編輯]

  1. ^ 1.0 1.1 對這些等價的公式的一個豐富但有點過時的討論,請見Fraenkel et al. (1973)
  2. ^ Hatcher 1982, p. 138, def. 1

文獻[編輯]

  • 亞歷山大·阿扁, 1965. The Theory of Sets and Transfinite Arithmetic. W B Saunders.
  • Keith Devlin, 1996 (1984). The Joy of Sets. Springer.
  • Abraham Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, and Levy, Azriel, 1973 (1958). Foundations of Set Theory. North Holland.
  • Hatcher, William, 1982 (1968). The Logical Foundations of Mathematics. Pergamon.
  • Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
  • Suppes, Patrick, 1972 (1960). Axiomatic Set Theory. Dover.
  • Tourlakis, George, 2003. Lectures in Logic and Set Theory, Vol. 2. Cambridge Univ. Press.
  • Jean van Heijenoort, 1967. From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard Univ. Press. Includes annotated English translations of the classic articles by Zermelo, Frankel, and Skolem bearing on ZFC.

外部連結[編輯]