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閉包 (數學)

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數學中,若對某個集合的成員進行一種運算,生成的仍然是這個集合的成員,則該集合被稱為在這個運算下閉合。 例如,實數減法下閉合,但自然數不行:自然數 3 和 7 的減法 3 − 7 的結果不是自然數。

類似的,一個集合被稱為在某些運算的搜集下閉合,如果它在每個運算之下都閉合。

一個集合在某個運算或某些運算的搜集下閉合被稱為滿足閉包性質。閉包性質經常作為公理,通常叫做閉包公理。現代集合論通常這樣定義:運算為在集合間的映射。所以向一個結構增加閉包性質作為公理是多餘的,儘管它對於子集是否閉合的問題仍有意義。

當一個集合 S 在某個運算下不閉合的時候,我們通常可以找到包含 S 的最小的閉合集合。這個最小閉合集合被稱為 S 的(關於這個運算的)閉包。例如,若把自然數集看作實數集的子集,它在減法下的閉包就是整數集。一個重要的例子是拓撲閉包。閉包的概念推廣為伽羅瓦連接,進一步為單子英語Monad (category theory)。 注意集合 S 必須是閉合集合的子集,這樣才能定義閉包算子。在前面的例子中,實數在減法下閉合是重要的,減法不總是在自然數的定義域中有定義的。

閉包這個詞的兩種用法不應混淆。前者用來提及閉合的性質,而後者提及包含不閉合集合的最小閉合集合。簡要的說,一個集合的閉包滿足閉包性質。

閉包集合[編輯]

如果對一個集合的成員進行某種運算時,返回值總是這個集合的成員,那麼稱這個集合在這種運算下閉合。有時會明確要求運算的返回值位於某個集合中,在這種情況下它叫做閉包公理。例如,例如,被定義為滿足一些公理的帶有一個二元運算的一個集合,包括了群的任何兩個元素的結合再次是一個元素的公理。但是現代的運算定義使這個公理多餘了,在 S 上 n 元算子只是 Sn+1 的子集。通過這種定義,在一個集合上的算子不能有在這個集合之外的值。

雖然如此,算子的閉包性質仍有某些用處。在一個集合上閉合不必然蘊涵在所有子集上閉合。所以群的子群被定義為在其上二元乘法和一元運算滿足閉包公理的子集。

一類不同的運算是找到拓撲空間的子集的極限點(如果這個空間是第一可數空間,只考慮收斂序列就足夠了,但一般而言至少要考慮的極限)。拓撲學中通常稱在這個運算下閉合的集合為閉集。如果沒有其他說明的話,一般而言閉集就是指閉合的性質。閉區間如 [1,2] = {x: 1 ≤ x ≤ 2} 就是在這種意義上閉合。

偏序集合是向下閉合的(也叫做下閉集合),如果對於這個集合的所有元素,所有更小的元素也都在其中;這適用於實數區間 (-∞, p) 和 (-∞, p] 的例子。

向上閉合上閉集合也類似的定義。

閉包算子[編輯]

給定在集合 X 上的一個算子,可以對 X 中的一個子集 S 定義閉包 C(S),C(S)是在 X 中包含S 且在運算下閉合的最小子集。例如,群的子集的閉包是這個集合所生成的子群。

關於某個運算的集合的閉包定義了在 X 的子集上的 閉包算子。閉合集合可以確定自閉包算子;一個集合是閉合的如果它等於自己的閉包。所有閉包算子都有以下的典型結構性特徵:

  • 閉包是遞增的或擴大的: 一個物件的閉包包含這個物件。
  • 閉包是冪等的: 閉包的閉包等於閉包。
  • 閉包是單調的,就是說,如果 X 包含在 Y 中,則 C(X) 也包含在 C(Y)。

若一物件等同於自身的閉包,就稱之為閉合。根據冪等性,一個物件是閉合的,若且唯若它是某個物件的閉包。

這三個性質定義了所謂抽象閉包算子。一般的,一個抽象閉包作用於一個集合的所有子集的類上。