本頁使用了標題或全文手工轉換

雙陸棋

維基百科,自由的百科全書
跳至導覽 跳至搜尋
雙陸棋
Backgammon lg.jpg
雙陸棋,由一個棋盤、三十枚棋子、四個骰子、一個倍數方塊、以及兩個裝骰子的骰盅組成
玩家數目2
適用年齡5歲以上
準備時間10-30秒
複雜程度中等
策略成分
遊戲時間5-35分鐘
運氣成分骰子
所需技巧計算戰術策略概率

雙陸棋(Backgammon),又稱百家樂棋,是一類供兩人對弈的版圖遊戲,棋子的移動以擲骰子的點數決定,首位把所有棋子移離棋盤的玩者可獲得勝利。遊戲在世界多個地方演變出 飛行棋 多個版本,但保留一些共通的基本元素。

在遊戲中,每位玩者盡力把棋子移動及移離棋盤。雖然遊戲有很大的運氣成分,遊戲的策略仍然十分重要。每次擲骰子時,玩者都要從多種選擇中選出最佳的走法。電腦科學家們對雙陸棋做了很多研究,目前雙陸棋軟體已經可以擊敗世界級的人類選手。

歷史[編輯]

瑞典的一艘沉船裡發現的一個木製的雙陸棋棋盤和一些棋子

西方[編輯]

西方的雙陸棋起源於大約公元前3000年古埃及塞尼特[1]此外古羅馬人也曾玩過一種類似雙陸棋的遊戲。[2]11世紀時,雙陸棋傳到法國,很快成為賭徒們最喜愛的遊戲,以致於路易九世在1254年頒布了一項法令,禁止官員們下雙陸棋。[3][4]12世紀時,雙陸棋傳到德國,13世紀時傳到了冰島。17世紀時還傳到了瑞典,當時在瑞典的一艘沉船裡發現了一個木製的雙陸棋棋盤和一些棋子。[5]19世紀時,隨著西方列強大量建立殖民地,雙陸棋傳遍了全世界。至今雙陸棋仍風行於西方社會,這個遊戲適合兩人對弈,各自執一黑一白之十五個棋子,遊戲有一個固定的開始擺設方式,雙方各有一個杯子裝兩箇骰子,為求公平只能由手持杯子擲骰子。雙陸棋一般使用的棋具外觀優美,由於技巧與運氣因素各佔一半,因此適合酌彩。

艾布·達吾德聖訓集》41:4920記載穆罕默德說玩雙陸棋是違抗真主及其使者。

英語和絕大多數歐洲語言中,雙陸棋一詞為「backgammon」,「back」是「後退」的意思,而「gammon」在中古英語中則有「遊戲」之意,該詞最早在1650年的牛津英語詞典中出現。[6]

東亞[編輯]

中國[編輯]

中國古代的雙陸是一種類似賭博的棋戲,有握槊長行、波羅塞戲、雙六等名稱[7],是來自印度傳入的波羅塞戲梵語प्रासक)基礎改造。雙陸棋子為馬形,黑白各十五或十二枚,兩人相博,擲骰子按點行棋。雙陸在唐代五代遼代金代元代曾風靡一時,連武則天唐玄宗後唐明宗、也喜歡玩雙陸[8]

唐國史補》記載武則天夢見與大羅天女打雙陸。局中只要有子,旋即被打將,不得其位,頻頻輸給天女。狄仁傑則告訴她說是「雙陸不勝,無子也。」勸說是上天用棋子來警示武則天[9]。宋元話本小說《梁公九諫》中〈第六諫〉[10]、《狄仁傑傳》、《天中記》、《淵鑑類函》也有類似的故事。但網路上卻誤謬為武則天夢見下象棋[11]

唐朝敦煌的《孔子項託相問書》,出現孔子邀請項橐玩雙陸的劇情[12]

周昉有畫《楊妃架雪衣女亂雙陸圖》,描畫唐玄宗與人玩雙陸要輸時,楊貴妃故意放白鸚鵡擾亂棋局。但網路也誤謬成下圍棋[13]

古中國時,雙陸、樗蒲北周象戲打馬與朝鮮半島的柶戲棋子皆稱為馬。

北宋朱彧將雙陸稱為象棋[14][15]

南宋時出現詳記東亞多種雙陸變體的局盤制度、布子格式、行馬規則等的《譜雙》。

規則[編輯]

紅棋和黑棋的移動方向

雙陸棋的目的是將己方所有棋子越過對方,然後再移離棋盤。遊戲開始時,棋子較為分散,在遊戲過程中可能被對方攻擊或阻擋。由於下一盤棋所需的時間很短,比賽中通常採用計分制,首先獲得一定分數的一方為勝利者。

設備[編輯]

  • 棋盤(見圖)
  • 兩套不同顏色的十五枚棋子(每位玩者一套)
  • 四顆骰子(每位玩者兩個)或者兩個骰子(每人一顆,骰兩次)杯子
  • 倍數方塊

擺法[編輯]

棋盤的每一條邊上都有十二個三角形(如上圖所示),從右下角開始依順時針方向用數字1到24編號(對方則正好相反,從右上角開始依逆時針方向編號,己方的第1點就是對方的第24點,己方的第2點就是對方的第23點,依此類推)。每位玩者將兩枚棋子放在第24點,三枚棋子放在第8點,五枚棋子放在第13點和第6點。[16]

第1點到第6點叫做內盤或主盤,第7點到第12點叫做外盤。第7點又叫做臨界點,第13點又叫做中點。[16][17]

換言之,假設己方玩者使用黑棋,紅方玩者使用紅棋,坐標順序如下:

  • 黑棋使用之坐標順序,由自己右下角開始依順時針方向數字1至24編號;
  • 紅棋使用之坐標順序,由自己左下角開始依逆時針方向數字24至1編號。

走法[編輯]

1743年的一篇關於雙陸棋的論文,由英國雙陸棋棋手Edmond Hoyle英語Edmond Hoyle所作

遊戲開始時,雙方各擲一個骰子,點數較大的一方先走。雙方輪流移動棋子,每次移動前先擲骰。[16][17]

擲骰子後,玩者必須按照擲出的點數移動棋子,例如:若擲到6和3,就必須將一枚棋子向前移動6步,再將另一枚棋子向前移動3步;也可以將同一枚棋子移動6步再移動3個點,或先移動3個點再移動6個點也可,但不能直接移動9個點。如果擲到兩骰相同的點數,就要按照擲得的點數移動棋子兩次,例如:若擲出兩個5,便可將四枚棋子向前移動5步。[16][17]簡單來說,雙方玩者要把棋子由開始時靠攏對方走往靠攏自己。

換言之,假設己方玩者使用黑棋,紅方玩者使用紅棋,棋子走向如下:

  • 黑棋走向,由24往1
  • 紅棋走向,由1往24

攻擊弱棋[編輯]

棋子只能移動到未被占據或被己方棋子占據的點,也可以移動到僅被一枚對方棋子占據的點,此時對方的這枚棋子便稱為「弱棋」。弱棋被攻擊後,便要放在棋盤中央的分界上,而被攻擊的弱棋在離開分界之前,其它棋子不得移動。下一回擲骰時,將被攻擊的弱棋從終點出發,例如:若擲到2,就可移動到第23點;如果擲到3,就可移動到第22點,依此類推。[16][17]

因為棋子不能移動到已被對方棋子兩枚或兩枚以上所占據的點,所以不可能會有任何點是同時被己方和對方的棋子占據。[16][17]

換言之,假設己方玩者使用黑棋,紅方玩者使用紅棋,被攻擊之棋子回到坐標線之起始情況如下:

  • 黑棋被攻擊後回到坐標線之起始點,由24至19任一格開始(視乎擲骰得1至6點不等);
  • 紅棋被攻擊後回到坐標線之起始點,由1至6任一格開始(視乎擲骰得1至6點不等)。

移離棋盤[編輯]

如果所有棋子都回到了己方內盤(第1到第6點),就可以開始將棋子移離棋盤。如果擲到1,就可將位於第1點的棋子移離棋盤;如果擲到2,就可將位於第2點的棋子移離棋盤,依此類推。不能將比所擲數字更低點的棋子移離棋盤,除非後面已經沒有任何棋子。例如,如果擲到5和4,第4點有兩枚棋子,而第5點和第6點都沒有棋子,才可以從第4點將兩枚棋子移走;如果第5點沒有棋子,但第6點仍有棋子,則不能移動兩枚第4點的棋子。[16][17]

如果在移離棋盤時有棋子被對方攻擊,就必須等該棋子回到了己方內盤後才可以繼續移離棋盤。

換言之,假設己方玩者使用黑棋,紅方玩者使用紅棋,棋子可移離棋盤之條件如下:

  • 黑棋移離棋盤前之所在位置,須介乎1至6共6格中之任何格(視乎擲骰得1至6點不等)。
    • 某數者只能把處於第某數格或更高數格之棋子移走,除非更高數格之棋子已無棋。
  • 紅棋移離棋盤前之所在位置,須介乎24至19共6格之任何格(視乎擲骰得1至6點不等)。
    • 某數者只能把處於第某數格或更低數格之棋子移走,除非更低數格之棋子已無棋。

勝負與得分[編輯]

首先將所有棋子移離的一方獲得勝利,可得一分。如果玩者還未開始將棋子移離棋盤,而對方已將所有棋子移離,對方就獲得兩分,稱為「全勝」或「家樂」。如果玩者還未開始將棋子移離棋盤,且仍有棋子在分界上或在對方內盤上,而對方已將所有棋子移離,對方就獲得三分,稱為「完勝」或「百家樂」。[16][17]

總點數[編輯]

在對局中,某一方所有棋子佔據位置的點數和(中央分界上相當於第25點)叫做「總點數」。開局時雙方的總點數為167,對局過程中總點數逐漸減少,但是當棋子被攻擊而進入分界時,總點數便隨之增加,總點數較小的那一方則處於領先狀態。比賽時不允許用計算機計算總點數,因此雙陸棋手們必須具備敏捷的心算能力。[18]

倍數方塊[編輯]

倍數方塊

倍數方塊(又稱倍數骰子)最早在1926年為紐約的雙陸棋棋手們使用,[19]以後逐漸為全世界所採用。其目的是為了增加遊戲的速度和難度,以及使遊戲更富有趣味性。倍數方塊是刻上數字248163264立方體。擲骰子之前,玩者可以要求將所得的分數加倍。對方必須立刻接受要求,或認輸。如果接受要求,就將倍數方塊轉到數字2朝上,所得的分數將加倍。也就是說,獲得勝利將得到兩分,獲得全勝將得到四分,而如果失敗了,對方就獲得兩分。以後還可以加到更高的倍數。加倍的次數不限,可以加到128倍,256倍,但實際上很少加到4倍以上。[16][17]倍數方塊要求玩者們不僅要選擇最佳的著法,還需要估計取勝的概率。[19]

一般情況下,如果認為自己獲勝的概率大於50%,應主動提出加倍要求;當對方提出加倍要求時,如果認為自己獲勝的概率大於25%,就應該接受(這個概率不僅與雙方的總點數以及棋子的位置有關,還與棋手個人的水平、風格以及看問題的角度有關)。但如果認為自己有機會獲得全勝或完勝,就不要主動提出加倍要求,否則一旦對方認輸,就只能得到一分。如果一時難以估計取勝的概率,不要主動提出加倍要求;但當對方提出加倍要求時,可以根據雙方的總點數來判斷是否應接受;如果己方的總點數比對方大10個點以上,就不應該接受加倍,否則應該接受加倍。

關於倍數方塊還有兩條很重要的規則:雅可比(Jacoby)規則克羅福(Crawford)規則。雅可比規則規定,如果對局中未曾使用倍數方塊,則獲得全勝或完勝都只能得到一分。這條規則鼓勵了棋手們使用倍數方塊,而不是一直玩到底企盼著獲得全勝或完勝。雅可比規則在賭博時廣泛使用,但不在比賽中使用。[20]

克羅福規則規定,如果某一方只差一分就獲得了比賽勝利,雙方都不准使用倍數方塊。使用這條規則的目的是防止某一方只差一分就獲得比賽勝利時,對方為增加獲勝的概率而提出加倍要求。克羅福規則經常在比賽中使用。[20]

對局記錄[編輯]

雙陸棋的對局記錄法由美國棋手Paul Magriel英語Paul Magriel在20世紀70年代發明。[16]

擲骰子擲到4和2,記錄為:4-2

從第8點移動一枚棋子到第4點,再從第6點移動一枚棋子到第4點,記錄為:8/4 6/4[16][18]

攻擊對方的弱棋,在著法後加星號(*)。例如,從第13點移動一枚棋子到第7點,並攻擊對方的弱棋,記錄為:13/7*

從第13點移動一枚棋子到第7點,並攻擊對方的弱棋,再移動到第5點,記錄為:13/7*/5[16][18]

移動超過一枚棋子,在著法後註明移動棋子的數目。例如,擲到兩個2,從第6點移動三枚棋子到第4點,再從第13點移動一枚棋子到第11點,記錄為:2-2 6/4(3) 13/11。[16][18]

用bar表示分界,off表示移離棋盤,例如bar/22 17/9,5/off 2/off。[16][18]

開局[編輯]

雙陸棋的開局要比其它棋盤遊戲中國象棋西洋棋複雜,這是因為每次擲骰子都有21種可能的骰點組合,每一種組合又有多種可行的著法。以下只討論第一步的最佳著法。

骰點 最佳著法 其它可行的著法
2-1 13/11, 6/5 13/11, 24/23 8/5
3-1 8/5, 6/5
4-1 13/9, 24/23 13/8
5-1 13/8, 24/23 13/8, 6/5
6-1 13/7, 8/7 13/6
3-2 13/11, 24/21 13/10, 13/11
4-2 8/4, 6/4
5-2 13/8, 24/22 13/8, 13/11 13/6
6-2 13/11, 24/18
4-3 13/6 13/10, 13/9 13/10, 24/20 13/9, 24/21
5-3 8/3, 6/3
6-3 24/18, 13/10 24/15
5-4 13/8, 24/20 13/8, 13/9
6-4 8/2, 6/2 24/14 24/18, 13/9
6-5 24/13

[來源請求]

這裡有幾條規律,如果能夠占據某個點,應儘可能占據,例如擲到6和1可以占據第7點。這樣一方面可以起到阻擋對方的作用,另一方面第7點就可以作為根據地,以後可以放上更多棋子。

如果不能夠占據某個點,一般最佳開步為移動第24點及第13點的棋子,例如擲到3和4時,應走13/10,24/20 。移動到第10點的棋子,雖然是一枚弱棋,但對方只有擲到相加為9的骰點(即6和3,或5和4)時才有機會攻擊,概率只有九分之一;而且這枚棋子還增加了能夠占據己方內盤某個點的概率,例如原來只有擲到4和2才能占據第4點,以後擲到6和2也可以了(10/4,6/4),為進一步阻擋對方棋子做好了準備。至於移動到第20點的棋子,雖然也是一枚弱棋,且很容易被對方攻擊(對方擲到3或1就可攻擊),但倘若對方真的攻擊了,對方自己就要在第20點留下一枚弱棋,下一步擲到5或4時,就可以反攻;而且這枚棋子還能夠防止對方從第12點移動棋子(例如,如果對方走12/16,下一步擲到4就可以走20/16攻擊它),使對方難以占據外盤和內盤的點。另外還須注意,移動位於第13點的棋子時,移動的步數越小越好(除非能夠移動到第8點),這樣將儘可能減少被對方攻擊的概率。

以上最佳開步乃是電腦分析的結果。一些過去曾認為最佳的開步,現在已被更好的著法取代。例如,過去曾認為擲到2和5時,最佳著法為13/11 13/8,但電腦分析結果表明,24/22 13/8的著法更好。

變體[編輯]

雙陸棋有不少變體,有的變體擺法有所改變,有的則是走法不同,還有的變體對某些骰子點數有特殊的規定。

一種常見的變體是任何一個點上最多允許有五枚棋子。雖然這不是官方的規則之一,但是在某些地區十分流行。[21]

Acey-deucey英語Acey-deucey是一種雙陸棋變體,開始時棋盤上沒有棋子,必須在遊戲時放入。如果擲到1和2,可以任意走動兩枚棋子,如果擲到兩個相同的點數,移動棋子後可再擲一次。

超級雙陸〔Hypergammon〕是一種雙陸棋變體,每位玩者只有三枚棋子,位於第24、23和22點上,該遊戲已徹底解決,就是說,對於所有的三千二百萬種局面,都已找到了取勝概率和最佳著法。[22][23]由於每位玩者只有三枚棋子,因此超級雙陸的運氣成分非常大,而策略成分則較小。

奈克雙陸〔Nackgammon〕是一種雙陸棋變體,由奈克·巴拉德(Nack Ballard)發明,擺法與雙陸棋略有不同,第6點和第13點比雙陸棋少放一枚棋子,第23點放兩枚棋子。與雙陸棋相比,奈克雙陸開局時總點數較大(為195),因此所需時間較長,難度亦較大。[23][24]

日本雙陸〔すごろく,Sugoroku英語Sugoroku〕是一種雙陸棋變體,6世紀時由中國傳入日本,現流行於日本。其擺法與雙陸棋相同,但規則略有不同。主要區別為日本雙陸中首先將所有棋子移入己方內盤即算勝利,無需再移離棋盤(因此也就無所謂全勝和完勝),因此所需時間較短。另外,日本雙陸不使用倍數方塊,也不允許占據連續六個點(所謂「占據某個點」是指該點至少有兩枚己方的棋子)。與雙陸棋相比,日本雙陸規則比較簡單。

策略與戰術[編輯]

19世紀的雙陸棋

最直接的策略就是避免被對方攻擊或阻擋。要儘可能避免留下弱棋,如果一定要留下弱棋,要儘可能使受到攻擊的概率為最小。一般情況下,當弱棋與對方棋子相距六個點時,最容易遭到對方攻擊;無論是近一點還是遠一點,受到攻擊的概率都會減少。以下的表格給出了弱棋與對方棋子之間的距離,以及受到攻擊的概率。

弱棋與對方棋子之間的距離 受到攻擊的概率
1 30.6 %
2 33.3 %
3 38.9 %
4 41.7 %
5 41.7 %
6 47.2 %
7 16.7 %
8 16.7 %
9 13.9 %
10 8.3 %
11 5.6 %
12 8.3 %
15 2.8 %
16 2.8 %
18 2.8 %
20 2.8 %
24 2.8 %

[來源請求]

如果己方總點數大大領先於對方,應迅速將棋子越過對方,並移離棋盤。這種策略叫做「賽跑策略」。[18]如果己方總點數與對方相差不大,應採用「占有性策略」,就是用兩枚棋子占據對方內盤某個點,這樣以後就有機會攻擊對方弱棋,或者擲到兩個大骰點時就有機會逃脫。[18]

將連續六個點占據,使對方的棋子無法越過,這種策略叫做「阻擋策略」。[18]

將己方內盤上六個點全部占據,使對方被攻擊的的棋子無法重新進入遊戲,這樣就可迅速取得優勢,並獲得勝利。這種策略叫做「閃電戰策略」,是阻擋策略的一個特例。[16]

如果己方總點數落後於對方,可以保留一些棋子在對方內盤上,並在己方內盤上建立屏障,等對方棋子回到內盤時,就有機會攻擊它們。這種策略叫做「撤退策略」。撤退策略並不是一個十分有效的策略,使用撤退策略的棋局中只有20%能夠獲得勝利。撤退策略只適用於己方總點數已大大落後於對方的情形,如果一開始就使用撤退策略,那麼通常都會失敗。[16][18]

將所有弱棋保持在與對方棋子相同的距離上。例如,將所有弱棋放在對方必須擲到2才能攻擊到的點上。這樣將減少被對方攻擊的概率。[16][18]還有一種很重要的策略,有時無法直接攻擊對方弱棋或占據某個點,這時就要考慮到下一步,使得下一步能夠有最大的機會攻擊對方弱棋或占據某個點。這種策略叫做「多樣化策略」。[18]

國際比賽[編輯]

中世紀的雙陸棋棋手

世界雙陸棋錦標賽始於1979年,在摩納哥蒙特卡洛舉行,比賽持續一個星期,每年都吸引了數千名選手和旁觀者。[25]

軟體[編輯]

GNU雙陸棋軟體

20世紀70年代,一名德國棋手Hans Berliner英語Hans Berliner編寫了雙陸棋程序BKG 9.8。開始時,該程序跟初學者下棋也經常輸;但後來Berliner使用了模糊邏輯的原理,使程序不斷改進,最終在1979年7月以7:1擊敗了當時的世界冠軍──義大利棋手Luigi Villa英語Luigi Villa。Berliner指出,這多半是運氣的原因,擲得的骰點對電腦比較有利。[26]

20世紀80年代晚期,程式設計師們使用一種叫人工神經網絡的新方法,使雙陸棋軟體的水平大大提高。其中一種叫TD-Gammon的程序,由Gerald Tesauro編寫,是第一個接近專家級水平的雙陸棋程序。[27]美國棋手Bill Robertie英語Bill RobertieKit Woolsey英語Kit Woolsey表示,TD-Gammon的水平已經高於世界上最好的棋手了。[27]

棋手[編輯]

美洲棋手[編輯]

歐洲棋手[編輯]

中東棋手[編輯]

中國棋手[編輯]

目前尚未有任何著名的中國雙陸棋棋手。 西洋骰子棋,在中國唐朝甚為流行,其名為雙陸棋或長行棋,較有名者為唐朝狄仁傑。

參見[編輯]

參考文獻[編輯]

  1. ^ Hayes, William C. "Egyptian Tomb Reliefs of the Old Kingdom". The Metropolitan Museum of Art Bulletin. 1946年3月.,. New Series 4 (7): 第170至178頁. 
  2. ^ Austin, Roland G. Roman Board Games. I. Greece & Rome. 1934年10月, 4 (10): 第24至34頁. 
  3. ^ Murray, Harold James Ruthven. 第六章: Race-Games. A History of Board-Games Other than Chess. Hacker Art Books. 1952年. ISBN 978-0-87817-211-5. 
  4. ^ Lillich, Meredith Parsons. The Tric-Trac Window of Le Mans. The Art Bulletin. 1983年3月, 65 (1): 第23至33頁. 
  5. ^ Vasamuseet — The Swedish-Tables Association. The Vasa Museum. [2006年8月12日]. (原始內容存檔於2006年5月18日). 
  6. ^ "backgammon". Oxford English Dictionary(牛津英語詞典),第二版. 1989年 [2006年8月5日]. 
  7. ^ 雙陸棋桌與雙陸棋 網際網路檔案館存檔,存檔日期2011-11-04.
  8. ^ 西北牛. 官賭調查. 中國: 時代潮流出版社. 1989-07. ISBN 9789889854959 (中文(簡體)). 
  9. ^ 天后夢雙陸而不勝
  10. ^ 梁公九諫[永久失效連結]
  11. ^ 中國象棋簡史 網際網路檔案館存檔,存檔日期2011-07-09.
  12. ^ 鄭阿財. 《敦煌文献与文学》. 中國: 新文豐出版社. 1993-12-29. ISBN 9789571709437 (中文). 
  13. ^ 第二章 唐代以前围棋. [2012-09-11]. (原始內容存檔於2010-09-18). 
  14. ^ 朱彧《萍洲可談》:「廣州蕃坊,見蕃人賭象棋,並無車馬之制,只以象牙、犀角、沈檀香數塊,於棋局上兩兩相移,亦自有節度勝敗。予以戲事,未嘗問也。」
  15. ^ 馬建春. 《回族研究》〈大食双陆棋弈的传入及其影响〉. 中國: 寧夏社科院《回族研究》編輯部. 2001-04 (中文(簡體)). 
  16. ^ 16.00 16.01 16.02 16.03 16.04 16.05 16.06 16.07 16.08 16.09 16.10 16.11 16.12 16.13 16.14 16.15 16.16 Robertie, Bill. Backgammon for Winners 第三版. Cardoza. 2002年. ISBN 978-1-58042-043-3. 
  17. ^ 17.0 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 Hoyle's Rules of Games Third Revised and Updated Edition. Signet. 2001年: 第321至330頁. ISBN 978-0-451-20484-4. 
  18. ^ 18.00 18.01 18.02 18.03 18.04 18.05 18.06 18.07 18.08 18.09 18.10 Magriel, Paul. Backgammon. Quadrangle/The New York Times Book Co. 1976年: 第16至18頁. ISBN 978-0-8129-0615-8. 
  19. ^ 19.0 19.1 Robertie, Bill. 501 Essential Backgammon Problems 第二版. Cardoza. 2002年: 第22頁. ISBN 978-1-58042-019-8. 
  20. ^ 20.0 20.1 Robertie, Bill. Backgammon for Serious Players 第二版. Cardoza. 2006年: 第19至22頁. ISBN 978-0-940685-68-0. 
  21. ^ bkgm.com頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)上有相關討論
  22. ^ Tesauro, G. Programming backgammon using self-teaching neural nets (PDF). Artificial Intelligence. 2002年, 134 (1): 第181至199頁 [2007年8月8日]. (原始內容 (PDF)存檔於2007年9月27日). 
  23. ^ 23.0 23.1 Strato, Michael. Backgammon Variants. Gammonlife. [2007年8月8日]. 
  24. ^ Woolsey, Kit. Nackgammon. Gammonline. 2001年9月 [2007年8月8日]. (原始內容存檔於2007-09-28). 
  25. ^ Michael Crane. Backgammon News — Wold Championships 2000. Mind Sports Worldwide. 2000年7月25日 [2006年9月14日]. (原始內容存檔於2006年9月7日). 
  26. ^ Berliner, Hans; et al. Backgammon program beats world champ. ACM SIGART Bulletin. 1980年1月, (69): 第6至9頁. 
  27. ^ 27.0 27.1 Tesauro, Gerald. Temporal difference learning and TD-Gammon. Communications of the ACM. 1995年3月, 38 (3): 第58至68頁. 

外部連結[編輯]