状态密度

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统计力学凝聚体物理学中,状态密度态密度为某一能量附近每单位能量区间里微观状态的数目,又叫做能态密度。在物理学中,具有同一能量的微观状态被称为简并的。简并态的个数叫做简并数。在离散能级处,简并数就是相应能量的态密度。在连续和准连续能态处,设g(E)为态密度,则处在能量EE+dE区间的态的个数为g(E)\mathrm{d}E

态密度的重要性在于,在一个正则系综中系统处在能量EE+dE之间的概率为\rho(E)\mathrm{d}E \propto g(E)\exp(-\beta E)\mathrm{d}E,其中\beta = \frac{1}{k_B T}k_B玻尔兹曼常数。考虑到归一化,

\rho(E) = \frac{g(E)\exp(-\beta E)}{\int_0^\infty g(E)\exp(-\beta E) \mathrm{d}E }

与配分函数的关系[编辑]

配分函数可以写成

 Z(\beta) = \int_0^\infty g(E)\exp(-\beta E) \mathrm{d}E

根据上式,态密度与配分函数通过拉普拉斯变换相联系,因此态密度可以通过配分函数表示为,

 g(E) = \frac{1}{2\pi i}\int_{s-i\infty}^{s+i\infty} e^{\beta E} Z(\beta) \mathrm{d}\beta\quad (\Re s > 0)

例子[编辑]

经典理想气体的态密度[编辑]

经典理想气体的态密度为,

g(E) \approx \frac{1}{N!}\left(\frac{V}{h^3}\right)^N\frac{(2\pi m)^{3N/2}}{(3N/2-1)!}E^{3N/2-1}

其中,V为系统占据的体积,h普朗克常数N为粒子个数,m为单个粒子的质量。

理想玻色气体的态密度[编辑]

理想玻色气体,例如,黑体腔中光子的态密度由普朗克公式给出,

 g(E) = \frac{1}{\hbar^2\pi^2c^3}\frac{E^3}{e^{\beta E} - 1}

对于光子来说,E = ħωω为光子频率。

零温理想费米气体的态密度[编辑]

零温理想费米气体,例如,金属中的电子的态密度为,

 g(E) = \frac{gV}{h^3}4\pi p^2 \left.\frac{\partial{p}}{\partial{E}}\right|_E

其中,g为费米子內秉自由度(如自旋,夸克味等)的个数,V为体积。 动量p和能量E的关系叫做色散关系。 非相对论性费米子的色散关系为, E = \frac{p^2}{2m} 。因此非相对论性的零温理想费米气体的态密度为,

 g(E) = \frac{g(2m)^{3/2}V}{4\pi^2\hbar^3}\sqrt{E}

类似地,极端相对论性的费米子的色散关系为, E = pc 。因此相对论性的零温理想费米气体的态密度为,

 g(E) = \frac{g V}{2\pi^2\hbar^3c^3} E^2

声子气体的德拜模型[编辑]

在德拜模型中,声子的能态密度为,

 g(\omega) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{9N}{\omega^3_D}\omega^2 & \quad \text{ for } \omega \le \omega_D; \\ 0 & \quad \text{ for } \omega > \omega_D \\ \end{array}\right.

其中,ωD叫做德拜频率。

参考文献[编辑]

  1. Pathria, R. K.. Statistical Mechanics 2nd. Butterworth Heinemann: Elsevier. 1997. ISBN ISBN:978-0-7506-2469-5 请检查|isbn=值 (帮助). 

参看[编辑]