雅各布森根

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抽象代数之分支环理论中,一个环 R雅各布森根Jacobson radical)是 R 的一个理想,包含在某种意义上“与零接近”的那些元素。

定义[编辑]

雅各布森根记做 J(R) 可用如下等价的方式定义:

  • 所有极大左理想
  • 所有极大右理想之交。
  • 所有R-模的零化子之交。
  • 所有单右 R-模的零化子之交。
  • 所有左本原理想primitive ideal)之交。
  • 所有右本原理想之交。
  • { xR : 对任何 rR 存在 uR 使得 u (1-rx) = 1 }
  • { xR : 对任何 rR 存在 uR 使得 (1-xr) u = 1 }
  • 如果 R交换R 的所有极大理想之交。
  • 最大理想 I 使得对所有 xI, 1-xR 中可逆。

注意,最后一个性质不意味着 R 中使 1-x 可逆的任何元素 x 都是 J(R) 的一个元素。

另外,如果 R 不可交换,则 J(R) 不必等于 R 中所有双边极大理想之交。

雅各布森根也能对没有恒同元素(或说单位)的环定义。参见 I. N. Herstein 所著《Noncommutative Rings》。

雅各布森根以内森·雅各布森Nathan Jacobson)命名,他最先研究了雅各布森根。

例子[编辑]

  • 任何的雅各布森根是 {0}。整数的雅各布森根是 {0}。
  • Z/8Z (参见模算术)的雅各布森根是 2Z/8Z
  • 如果 K 是一个域,R 是所有元素位于 K 中的上三角 n×n 矩阵环,则 J(R) 由主对角线为零的所有上三角矩阵组成。
  • 如果 K 是域,R = K[[X1,...,Xn]] 是形式幂级数环,则 J(R) 由常数项为零的所有幂级数组成。更一般地,任何局部环的雅各布森根由这个环的非单位环组成。
  • 由一个有限箭图quiver)Γ 与一个域 K 开始,考虑箭图代数 KΓ (在箭图一文有具体说明)。这个环的雅各布森根由 Γ 中所有长度 ≥ 1 的道路生成。
  • 一个C*-代数的雅各布森根是 {0}。这得自盖尔范德-奈马克定理Gelfand–Naimark theorem)以及关于 C*-代数的事实,一个希尔伯特空间上的拓扑不可约 *-表示是代数不可约的,从而其核在纯代数意义上是一个本原理想(参见C*-代数的谱)。

性质[编辑]

另见[编辑]

参考文献[编辑]

  • M. F. Atiyah, I. G. Macdonald. Introduction to Commutative Algebra.
  • N. Bourbaki. Éléments de Mathématique.
  • I. N. Herstein, Noncommutative Rings.
  • R. S. Pierce. Associative Algebras. Graduate Texts in Mathematics vol 88.
  • T. Y. Lam. A First Course in Non-commutative Rings. Graduate Texts in Mathematics vol 131.

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