二体问题

在这篇文章内，向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。

两个质量相等的粒子，依循各自椭圆轨道，绕著质心公转。

两个质量稍微不同的粒子的运动，依循各自椭圆轨道，绕著质心公转。这种轨道的尺寸与形状类似冥王星-冥卫一系统。

在经典力学里，二体问题（英语：two-body problem）研究两个粒子因彼此互相作用而产生的运动。这是个很重要的天文学问题，常见的应用有卫星绕著行星公转、行星绕著恒星公转、双星系统、双行星、一个经典电子绕著原子核运动等等。

二体问题可以表述为两个独立的单体问题，其中一个是平凡的单体问题，另外一个单体问题研究一个粒子因外力作用而呈现的运动。由于很多单体问题有精确解（exact solution），即不需借助近似方法就可得到问题的解答；其对应的二体问题连带地也可解析。显然不同地，除了特别案例以外，三体问题（或者更复杂的多体问题）并没有精确解。

约化为两个独立的单体问题

在一个物理系统里，假设两个粒子的质量分别为$m_{1}\,\!$、$m_{2}\,\!$，在时间$t=0\,\!$的初始位置分别为$\mathbf {x} _{10}\,\!$、$\mathbf {x} _{20}\,\!$，初始速度分别为$\mathbf {v} _{10}\,\!$、$\mathbf {v} _{20}\,\!$，计算这两个粒子的轨迹函数$\mathbf {x} _{1}(t)\,\!$及$\mathbf {x} _{2}(t)\,\!$的问题，称为二体问题。

根据牛顿第二定律：

$\mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}\,\!$ —— (1)、

$\mathbf {F} _{21}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}\,\!$ —— (2)；

其中，$\mathbf {F} _{AB}\,\!$表示粒子B施加于粒子A的作用力。

二体问题的雅可比坐标(Jacobi coordinates)为质心坐标${\boldsymbol {R}}={\frac {m_{1}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{1}+{\frac {m_{2}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{2}$和相对坐标${\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}$；其中，$M=m_{1}+m_{2}\$ 。

将方程式(1)与方程式(2)相加，可以得到一个方程式，专门描述两个粒子的质心运动。将方程式(1)与方程式(2)的相减，则可得到描述两个粒子相对的位移向量$\mathbf {r} =\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\,\!$与时间之间的关系。将这两个独立的单体问题的解答结合起来，就可以求得轨迹函数$\mathbf {x} _{1}(t)\,\!$和$\mathbf {x} _{2}(t)\,\!$。

质心运动（第一个单体问题）

质心的位置由两个粒子的位置和质量给出：

$\mathbf {x} _{cm}\ {\stackrel {def}{=}}\ (m_{1}\mathbf {x} _{1}+m_{2}\mathbf {x} _{2})/M\,\!$；

其中，$M=m_{1}+m_{2}\,\!$是系统的总质量。

质心的加速度为：

${\ddot {\mathbf {x} }}_{cm}=(m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2})/M\,\!$。

由于没有外力作用，将方程式(1)与(2)相加，根据牛顿第三定律，可以得到

$M{\ddot {\mathbf {x} }}_{cm}=\mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0\,\!$。

因此，质心的加速度等于零，质心的速度$\mathbf {v} _{cm}\,\!$为常数：

$\mathbf {v} _{cm}={\dot {\mathbf {x} }}_{cm}=(m_{1}\mathbf {v} _{10}+m_{2}\mathbf {v} _{20})/M\,\!$。

这物理系统的动量守恒：

$m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}=M\mathbf {v} _{cm}=m_{1}\mathbf {v} _{10}+m_{2}\mathbf {v} _{20}\,\!$。

从两个粒子的初始位置和初始速度，就可以决定质心在任意时间的位置：

$\mathbf {x} _{cm}=\mathbf {v} _{cm}t+(m_{1}\mathbf {x} _{10}+m_{2}\mathbf {x} _{20})/M\,\!$。

位移向量运动（第二个单体问题）

将方程式(1)、(2)分别除以$m_{1}\,\!$、$m_{2}\,\!$，然后相减，可以得到

${\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {\mathbf {x} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{2}}}\right)\,\!$。

其中，$\mathbf {r} \,\!$是个从粒子2位置指到粒子1位置的位移向量。

应用牛顿第三定律，$\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}\,\!$。所以，

${\ddot {\mathbf {r} }}=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{12}\,\!$。

两个粒子之间的作用力应该只是相对位置$\mathbf {r} \,\!$的函数，而不是绝对位置$\mathbf {x} _{1}\,\!$、$\mathbf {x} _{2}\,\!$的函数；否则，无法满足物理的平移对称，物理定律会因地而易，二体之间的物理关系无法普遍地成立于全宇宙。换句话说，在宇宙中，两个粒子的绝对位置无关紧要，因为它们是宇宙中唯一的两个粒子，是互相施加于彼此的作用力的源头。诚然地，这是一个不实际的问题，可以被视为一个思想实验。为了满足这问题的要求，两个粒子之间的作用力必须只是相对位置$\mathbf {r} \,\!$的函数。这样，相减得到的方程式写为

$\mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=\mathbf {F} (\mathbf {r} )\,\!$；

其中，$\mu =m_{1}m_{2}/M\,\!$是约化质量。

一旦求得函数$\mathbf {x} _{cm}(t)\,\!$与$\mathbf {r} (t)\,\!$，就可以计算出两个粒子的轨迹方程式$\mathbf {x} _{1}(t)\,\!$与$\mathbf {x} _{2}(t)\,\!$：

$\mathbf {x} _{1}(t)=\mathbf {x} _{cm}(t)+m_{2}\mathbf {r} (t)/M\,\!$、

$\mathbf {x} _{2}(t)=\mathbf {x} _{cm}(t)-m_{1}\mathbf {r} (t)/M\,\!$。

角动量

两个粒子的总角动量$\mathbf {L} _{tot}\,\!$为

${\begin{aligned}\mathbf {L} _{tot}&=\mathbf {x} _{1}\times (m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1})+\mathbf {x} _{2}\times (m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2})=\mathbf {x} _{cm}\times M{\dot {\mathbf {x} }}_{cm}+\mathbf {r} \times \mu {\dot {\mathbf {r} }}\\&=\mathbf {L} _{cm}+\mathbf {L} _{rel}\\\end{aligned}}\,\!$

其中，$\mathbf {L} _{cm}=\mathbf {x} _{cm}\times M{\dot {\mathbf {x} }}_{cm}\,\!$是质心对于原点的角动量，$\mathbf {L} _{rel}=\mathbf {r} \times \mu {\dot {\mathbf {r} }}\,\!$是两个粒子对于质心的角动量。

回想前面质心的轨迹方程式，

$\mathbf {x} _{cm}=\mathbf {v} _{cm}t+(m_{1}\mathbf {x} _{10}+m_{2}\mathbf {x} _{20})/M\,\!$。

为了简化分析，设定质心的初始位置为$0\,\!$。也就是说，质心的直线运动经过原点。那么，

$\mathbf {L} _{cm}=\mathbf {v} _{cm}t\times M\mathbf {v} _{cm}=0\,\!$、

$\mathbf {L} _{tot}=\mathbf {L} _{rel}\,\!$。

二体问题常用的换元的技巧是通过 $u=1/r\!$ 和 ${\dot {\theta }}=Lu^{2}/m\!$ 将原方程中对时间的求导转化为对角度 $\theta \!$ 的求导，并得到Sturm-Liouville型方程

$(Lu')'+Lu=1/L\!$

角动量守恒与连心力

二体问题的总力矩${\boldsymbol {\tau }}_{tot}\,\!$是

${\boldsymbol {\tau }}_{tot}=\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {F} _{12}+\mathbf {x} _{2}\times \mathbf {F} _{21}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{12}\,\!$。

在物理学里，时常会遇到的万有引力、静电力等等，都是连心力。假设，作用力$\mathbf {F} _{12}\,\!$是连心力，则$\mathbf {F} _{12}\,\!$与$\mathbf {r} \,\!$同直线，总力矩${\boldsymbol {\tau }}_{tot}\,\!$等于0。根据角动量守恒定律，

${\boldsymbol {\tau }}_{tot}={\frac {d\mathbf {L} _{tot}}{dt}}\,\!$。

因此，总角动量$\mathbf {L} _{tot}\,\!$是个常数，总角动量守恒。

请注意，并不是每一种力都是连心力。假设，两个粒子是带电粒子。由必欧-沙伐定律与劳仑兹力定律所算出的作用力和反作用力并不是连心力。总力矩${\boldsymbol {\tau }}_{tot}\,\!$不等于0。总角动量不守恒；这是因为还有角动量并没有被计算在内。假若，将电磁场的角动量计算在内，则角动量守恒定律仍旧成立。

在很多物理系统里，作用力$\mathbf {F} (\mathbf {r} )\,\!$是一种连心力，以方程式表示为

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=F(r){\hat {\mathbf {r} }}$；

其中，$r\,\!$是径向距离，${\hat {\mathbf {r} }}\,\!$是径向单位向量。

这物理系统的运动方程式为

$\mu {\ddot {\mathbf {r} }}={F}(r){\hat {\mathbf {r} }}\,\!$。

更详尽细节，请参阅条目经典连心力问题（classical central force problem）。

平面运动与角动量守恒

总角动量与$\mathbf {r} \,\!$的点积为

$\mathbf {r} \cdot \mathbf {L} _{tot}=\mathbf {r} \cdot (\mathbf {r} \times (\mu {\dot {\mathbf {r} }}))=0\,\!$。

这两个粒子的运动轨道必定包含于垂直于$\mathbf {L} _{tot}\,\!$的平面。假设作用力为连心力，则由于角动量守恒，这两个粒子必定运动于某特定平面，而常数向量$\mathbf {L} _{tot}\,\!$垂直于这平面。

参阅

• 多体问题
• 克卜勒定律
• 克卜勒问题
• 拉普拉斯-龙格-冷次向量
• 伯特兰定理
• 牛顿旋转轨道定理

参考文献

来源

书籍

• Lev D. Landau and E. M. Lifshitz, (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 978-0-08-021022-3 (hardcover) and ISBN 978-0-08-029141-3 (softcover).