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拉普拉斯-龍格-冷次向量

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在這篇文章內,向量标量分別用粗體斜體顯示。例如,位置向量通常用\mathbf{r}\,\!表示;而其大小則用r\,\!來表示。

經典力學裏,拉普拉斯-龍格-冷次向量(簡稱為 LRL 向量)主要是用來描述,當一個物體環繞著另外一個物體運動時,軌道的形狀與取向。典型的例子是行星的環繞著太陽公轉。在一個物理系統裏,假若兩個物體以萬有引力相互作用,則 LRL 向量必定是一個運動常數,不管在軌道的任何位置,計算出來的 LRL 向量都一樣[1] ;也就是說, LRL 向量是一個保守量。更廣義地,在克卜勒問題裏,由於兩個物體以連心力相互作用,而連心力遵守平方反比定律,所以,LRL 向量是一個保守量[2]

氫原子是由兩個帶電粒子構成的。這兩個帶電粒子以遵守庫侖定律靜電力互相作用.靜電力是一個標準的平方反比連心力。所以,氫原子內部的微觀運動是一個克卜勒問題。在量子力學的發展初期,薛丁格還在思索他的薛丁格方程式的時候,沃爾夫岡·包立使用 LRL 向量,關鍵性地推導出氫原子的發射光譜[3]。這結果給予物理學家很大的信心,量子力學理論是正確的。

經典力學量子力學裏,因為物理系統的某一種對稱性,會產生一個或多個對應的保守值。 LRL 向量也不例外。可是,它相對應的對稱性很特別;在數學裏,克卜勒問題等價於 一個粒子自由地移動於 四維空間的三維球面[4];所以,整個問題涉及四維空間的某種旋轉對稱[5]

拉普拉斯-龍格-冷次向量是因皮埃爾-西蒙·拉普拉斯卡爾·龍格,與威爾漢·冷次而命名。它又稱為拉普拉斯向量龍格-冷次向量,或冷次向量。有趣的是,LRL 向量並不是這三位先生發現的!這向量曾經被重複地發現過好幾次[6]。它等價於天體力學中無因次離心率向量[7]。發展至今,在物理學裏,有許多各種各樣的 LRL 向量的推廣定義;牽涉到狹義相對論,或電磁場,甚至於不同類型的連心力

概論[编辑]

在一個物理系統裏,在任意保守連心力的作用下(參閱保守力),一個粒子的運動,都會擁有至少四個運動常數能量角動量 \mathbf{L} 的三個分量皆為運動常數。粒子的軌道被限制於一個平面。粒子的動量 \mathbf{p} 和從力中心點的位置到粒子位置的位移 \mathbf{r} (參閱圖 1)。粒子的運動平面垂直於角動量 \mathbf{L} 。用方程式表示,

\mathbf{r}\cdot\mathbf{L}=0

LRL 向量 \mathbf{A} ,也肯定地包含於粒子的運動平面。可是,只有當連心力遵守平方反比定律時, \mathbf{A} 才是常數向量[1]。對於別種連心力, \mathbf{A} 不是常數向量,其大小與方向都會改變。假若連心力近似地遵守平方反比定律,則 \mathbf{A} 的大小近似常數,而方向會緩慢地轉動。對於所有的連心力,可以定義一個廣義 LRL 向量,但是,這廣義向量通常並沒有解析解,假若有,也會是一個非常複雜的函數[8][9]

歷史[编辑]

在重要的克卜勒問題中, LRL 向量 \mathbf{A} 是一個運動常數,時常用來描述天文軌道,例如行星的運動。然而,物理學家對它並不熟悉,這很可能是因為與動量與角動量相比,它比較難以被直覺地理解內涵的物理。因此,在過去三個世紀裏,它曾被重複地發現過許多次[6]。1710 年,在一個不著名的義大利學刊裏,雅各布·赫爾曼最先發表了關於 LRL 向量的論文。在推導一個軌道方程式的過程中,他計算出 LRL 向量的大小, A 是保守的[10];並且推導出此案例與橢圓軌道離心率的關係。稍後,赫爾曼把這結果告訴约翰·白努利,他的恩師。白努利又更進一步地推導出 LRL 向量的方向。這樣,LRL 向量得到了它的現代形式[11]。所以,不容質疑地,LRL 向量是赫爾曼和白努利共同發現的。

在那個世紀末尾,皮埃爾-西蒙·拉普拉斯又重新地發現了 LRL 向量的保守性;稍微不同地,他的導引使用的是分析方法,而不是幾何方法[12]。十九世紀中葉,威廉·哈密頓推導出全等的離心率向量[7]。他用離心率向量來證明,在平方反比連心力作用下,速端曲線顯示出,粒子動量向量的頭部呈圓形移動[13] (參閱圖 3)。二十世紀初,約西亞·吉布斯,應用向量分析,推導出同樣的向量[14]。後來,卡爾·龍格將吉布斯的導引,納入自己所寫的一本廣受歡迎的,關於向量的,德文教科書內,成為其中的一個例題[15] 。1924 年,威爾漢·冷次發表了一篇關於氫原子舊量子論的論文。在這篇論文中,他引用龍格所寫的教科書的例題為參考[16]。1926 年, 沃爾夫岡·包立用 LRL 向量與矩陣力學,而不是薛丁格方程式,來推導原子光譜[3]。這傑作說服了大多數物理學家,使他們覺得量子力學理論是正確的。

數學定義[编辑]

圖 1:在平方反比連心力的作用下,一個移動中的粒子,在橢圓軌道的四點(標記為 1, 2, 3, 與 4 )的 LRL 向量 \mathbf{A} (紅色表示)。力中心點表示為一個小黑點;從這黑點,位置向量 \mathbf{r} (黑色表示)以徑向方向指出。角動量 \mathbf{L} 垂直於軌道的平面。共面的向量 \mathbf{p}\times\mathbf{L}mk\hat{\mathbf{r}} 分別用藍色與綠色表示。LRL 向量 \mathbf{A} 是一個運動常數向量

平方反比連心力 \mathbf{F}(r) 可以表達為

\mathbf{F}(r)= - \frac{k}{r^{2}}\mathbf{\hat{r}}

其中,k 是比例常數,\mathbf{\hat{r}} = \frac{\mathbf{r}}{r}單位向量\mathbf{r} 是粒子的位置向量r\mathbf{r} 的大小。

感受到此力的作用,一個粒子的軌道運動,其 LRL 向量的數學定義方程式為

\mathbf{A} = \mathbf{p} \times \mathbf{L} - m k \mathbf{\hat{r}}

其中,m 是粒子的質量\mathbf{p}動量\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}角動量

由於平方反比連心力為保守力能量 E=\frac{p^{2}}{2m} - \frac{k}{r} 運動常數

\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\frac{p}{m}\dot{p} + \frac{k}{r^2}\dot{r}=0

再者,角動量 \mathbf{L} 也是保守的,可以決定粒子移動平面的取向。因為 \mathbf{p}\times\mathbf{L}\mathbf{r} 都垂直於 \mathbf{L} ,所以,LRL 向量 \mathbf{A} 垂直於角動量; \mathbf{A} 包含於軌道的平面。

這個單獨粒子的 LRL 向量定義,也可以延伸至像克卜勒問題一類的二體問題,只需要設定質量 m 為二個物體的約化質量,設定位置向量 \mathbf{r} 為二個物體之間的相對位置向量。

同樣的運動常數可以有很多種不同的表述.最常見的一種牽涉到離心率向量。定義離心率向量 \mathbf{e} 為 LRL 向量與 mk 的除商:

\mathbf{e} = \frac{\mathbf{A}}{m k} = \frac{1}{m k}(\mathbf{p} \times \mathbf{L}) - \mathbf{\hat{r}}

克卜勒軌道導引[编辑]

圖 2:這是圖 1 的簡化版,角 \theta 定義為 \mathbf{A}\mathbf{r} 之間的夾角。

克卜勒問題的運動軌道,其形狀與取向,可以用 LRL 向量決定[1]\mathbf{A}\mathbf{r} 的內積為

\mathbf{A}\cdot\mathbf{r}=Ar\cos\theta=\mathbf{r}\cdot\left(\mathbf{p}\times\mathbf{L} \right) - mkr

其中, \theta\mathbf{A}\mathbf{r} 之間的夾角。

置換三重積

\mathbf{r} \cdot\left(\mathbf{p}\times \mathbf{L}\right) = 
\mathbf{L}\cdot\left(\mathbf{r} \times \mathbf{p}\right) = 
\mathbf{L}\cdot\mathbf{L}=L^2

所以,

Ar\cos\theta=L^2 - mkr

編排成圓錐曲線的方程式形式:

\frac{1}{r}=\frac{mk}{L^{2}}\left(1 +\frac{A}{mk}\cos\theta\right)

離心率 e

e = \frac{A}{mk} = \frac{\left|\mathbf{A}\right|}{m k}

克卜勒軌道與能量的關係可以由 LRL 向量推導出。\mathbf{A} 與自己的內積為

\begin{align}
\mathbf{A}\cdot\mathbf{A} & =(\mathbf{p}\times\mathbf{L} - mk\mathbf{\hat{r}})\cdot(\mathbf{p}\times\mathbf{L} - mk\mathbf{\hat{r}}) \\
 & =p^2 L^2+m^2k^2 - 2mk\hat{\mathbf{r}}\cdot(\mathbf{p}\times\mathbf{L}) \\
 & =\left(2mE+\frac{2mk}{r}\right)L^2+m^2k^2 - \frac{2mk}{r}L^2 \\ \end{align}

所以,

A^2= m^2 k^2 + 2 m E L^2

稍微編排,離心率的平方 e^{2} 是能量 E 的函數:

e^{2}=1+\frac{2L^{2}}{mk^{2}}E

假若能量 E 是負值的(束縛軌道),則離心率小於 1 ,這軌道是橢圓形軌道。相反地,假若能量是正值的(非束縛軌道,又稱為散射軌道)則離心率大於 1 ,這軌道是雙曲線軌道。最後,假若能量等於零,則離心率等於 1 ,這軌道是拋物線軌道。對於所有狀況, LRL 向量與圓錐曲線的對稱軸平行,而且從力中心點指向近拱點

圓形的速端曲線[编辑]

圖 3 :在平方反比連心力作用下,隨著粒子的軌道運動,使用速端曲線圖,固定動量向量 \mathbf{p} (藍色表示) 的尾部於原點,則其頭部呈圓形移動。四個標記的點對應於圖 1 的四點。圓形的中心是在 py-軸,py-座標為 A/L (以品紅色表示),半徑是 mk/L (以綠色表示)。

假設一個粒子在做軌道運動。其速度向量的物理行為可以用速端曲線顯示出來,而動量是速度乘以質量。所以,速端曲線也可以顯示出動量的物理行為。在平方反比連心力作用下,速端曲線(圖 3 )顯示出,粒子的動量向量的頭部呈圓形移動;這事實可以用 LRL 向量 \mathbf{A} 與角動量 \mathbf{L} 的保守性來證明[13][6]。計算 \mathbf{L}\mathbf{A}叉積

L^{2} \mathbf{p} = \mathbf{L} \times \mathbf{A} - mk \hat{\mathbf{r}} \times \mathbf{L}

設定 xyz 參考系的圓點在力中心點\mathbf{L} 與 z-軸同方向,x-軸與半長軸同軸。則

p_{x}^{2} + \left(p_{y} - A/L \right)^{2} = \left( mk/L \right)^{2}

換句話說,動量 \mathbf{p} 的頭部被限制於一個圓圈;圓圈的半徑為 mk/L ,圓心為 (0,\ A/L) 。如圖 3 所示,圓形的動量速端曲線 毫無疑問地顯示出克卜勒問題對稱性

夾角 \eta 的一邊是點 2 與圓心的連線,另一邊是負 py-軸。很顯然地,離心率等於 \cos\eta 。為了簡化運算,在這裏提出一個很有用的變量 p_{0} = \sqrt{2m\left| E \right|}

運動常數與超級可積分性[编辑]

在克卜勒問題裏,兩個向量 \mathbf{A}\mathbf{L} 與一個純量 E 加起來一共有七個常數純量。它們之間的相關性表達於 \mathbf{A}\cdot\mathbf{L}=0A^2=m^2k^2+2mEL^2 這兩個公式。因為 \mathbf{A} 的大小可以由角動量 \mathbf{L} 與能量 E 計算出來。再者,\mathbf{A} 必須垂直於 \mathbf{L} 。所以,\mathbf{A} 只能貢獻 1 個運動常數。

由於有上述兩個關係公式,這物理系統一共有五個獨立的運動常數。這結果與設定粒子軌道所需的六個初始條件(粒子的初始位置向量與初始速度向量,每一個向量有三個分量)相符合,原因是運動常數不涉及初始時間(視六個初始條件函數的參數為自變量初始時間。用其中的一個初始條件函數除去這自變量;將此初始條件函數當作一個自變量,則剰餘五個初始條件函數,函數的參數為新自變量)。

因為運動方程式是二階微分方程,一個擁有 d 自由度的物理系統,需要 2d初始條件來設定解答。由於運動常數不涉及初始時間,這物理系統最多只能擁有 2d - 1運動常數。一個擁有超過 d 個運動常數的物理系統稱為超級可積分系統;而一個擁有 2d - 1 個運動常數的物理系統稱為最大超級可積分系統[17]哈密頓-亞可比方程式的解答,採用任意一種坐標系統,最多只能求得 d 個運動常數[18]

克卜勒問題擁有三個自由度( d=3 )與五個運動常數;克卜勒問題的系統是最大超級可積分系統;採用球坐標拋物線坐標,哈密頓-亞可比方程式都是可積分的[19];這論據,稍後會有詳細的解釋。最大超級可積分系統可以用對易關係量子化,這論據,稍後也會又更明瞭的說明[20]

在微擾勢下的系統演化[编辑]

图5:橢圓軌道的慢進動,離心率 e=0.667 。 假若,引性的連心力與平方反比定律稍微有點不同,類似的進動就會發生。

只有在一個標準的平方反比連心力下,粒子的 LRL 向量 \mathbf{A} 是保守的。對於大多數的實際問題,例如行星運動,作用力並不會完全地遵守平方反比定律,而可能會含有別種微擾的連心力;稱其負值不定積分微擾勢,標記為 h(r) 。在這種狀況下,LRL 向量會緩慢地轉動於軌道平面,相應於軌道的慢進動。假若微擾勢 h(r) 為一個保守的連心勢,也就是說,總能量 E 與角動量 \mathbf{L} 都是保守的,則粒子的運動 仍舊包含於一個垂直於 \mathbf{L} 的平面,大小 A 仍舊是保守的。微擾勢 h(r) 可以是任何形式的函數。但是,微擾值應該顯著地弱於主連心勢。一個典形的微擾勢可以表示為

h(r)=-\ \frac{h}{r^n}

其中,h 是微擾勢強度,整數 n\le 2

正則微擾理論作用量-角度座標,可以直接地推導出 LRL 向量的轉動率是[1]

\begin{align}
\bar{\Omega}=\frac{\partial}{\partial L} \langle h(r) \rangle & = \frac{\partial}{\partial L} \left\{ \frac{1}{T} \int_{0}^{T} h(r) \, \mathrm{d}t \right\} \\
& = \frac{\partial}{\partial L}\left\{ \frac{m}{TL} \int_{0}^{2\pi} r^{2} h(r) \, \mathrm{d}\theta \right\} \\ \end{align}

其中,T 是軌道週期,恆等式 Ldt=mr^2 \mathrm{d}\theta 轉變時間積分為角積分(如圖 5 )。角括號表達式 \langle h(r)\rangle 是週期平均微擾勢;也就是說,物體繞軌道一個公轉 的平均微擾勢。取平均值可以減少轉動率的變動。

這方法曾經被用來證實愛因斯坦廣義相對論。廣義相對論在常見的牛頓萬有引力項目外,又添加了一項小的反立方微擾[21]

h(r) = \frac{kL^{2}}{m^{2}c^{2}} \left( \frac{1}{r^{3}} \right)

將此函數代入積分。再代入 r\theta 的關係公式

\frac{1}{r} =\frac{mk}{L^{2}}\left(1+\frac{A}{mk}\cos\theta\right)

就可以計算出這非牛頓微擾所產生的近拱點進動率[21]:

\bar{\Omega}=\frac{6\pi k^{2}}{TL^{2}c^{2}}

計算出的答案準確地符合實驗觀測到的水星進動數據[22]雙重脈衝星數據[23]。這與實驗數據一致的結果被認為是廣義相對論的強證[24][25]

帕松括號[编辑]

角動量 \mathbf{L} 的三個分量 L_i帕松括號[1]

\{ L_{i}, L_{j}\} = \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} L_{s}

其中,指標 i,\ j=1,\ 2,\ 3 代表直角座標系的三個座標 (x,\ y,\ z) \epsilon_{ijs}列維-奇維塔符號;在這裏,為了避免與力強度的標記 k 發生混淆,採用 s 為連加運算的指標。

定義一個與 LRL 向量成比例的向量 \mathbf{D}

\mathbf{D}=\frac{\mathbf{A}}{\sqrt{2m\left|E\right|}}

向量 \mathbf{D} 與角動量 \mathbf{L} 的單位相同。\mathbf{D}\mathbf{L} 的帕松括號為[26]

\{ D_{i}, L_{j}\} = \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} D_{s}

向量 \mathbf{D} 與自己的帕松括號跟總能量 E 的正負號有關;也就是說,跟是否總能量 E 是正值(在平方反比連心力作用下,產生開放的雙曲線軌道),或負值(在平方反比連心力作用下,產生閉合地橢圓軌道)有關。假若總能量 E 是正值,帕松括號是

\{ D_{i}, D_{j}\} = -\sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} L_{s}

反之,假若總能量 E 是負值,帕松括號是

\{ D_{i}, D_{j}\} = \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} L_{s}

由於以下這三個帕松括號方程式,

\{ L_{i}, L_{j}\} = \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} L_{s}
\{ D_{i}, L_{j}\}= \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} D_{s}
\{ D_{i}, D_{j}\} = \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} L_{s}

如果總能量 E 是負值,則可確定克卜勒問題的對稱群是四維的旋轉群 SO(4) 。

假若總能量 E 是負值,卡西米爾不變量 C_1,\ C_2 定義為

C_{1} = \mathbf{D} \cdot \mathbf{D} + \mathbf{L} \cdot \mathbf{L} = \frac{mk^{2}}{2\left|E\right|}
C_{2} = \mathbf{D} \cdot \mathbf{L} = 0

而且,卡西米爾不變量與 \mathbf{D} 的每一個分量的帕松括號皆為零:

\{ C_{1}, D_{i} \}=\{ C_{2}, D_{i} \}=0

還有,卡西米爾不變量與 \mathbf{L} 的每一個分量的帕松括號皆為零:

\{ C_{1}, L_{i} \}=\{ C_{2}, L_{i} \}=0

既然兩個向量 \mathbf{D}\mathbf{L} 永遠是互相垂直的,C_{2} 明顯地是零。可是,另外一個不變量 C_1 只跟質量 m 、力強度 k 、總能量 E 有關。不變量 C_1 分別與 D_{i}L_{i} 的帕松括號等於零的導引並不明顯。這不變量 C_1 使得只用到量子力學正則對易關係,就可以推導出類氫原子原子能級,而不必用到的薛丁格方程式

氫原子量子力學[编辑]

圖 6 :從 LRL 向量算符與角動量算符的對易關係,預測出來的氫原子的原子能級。各種實驗都準確地證實這些能級正確無誤。

帕松括號提供了一個簡易的方法來正則量子化經典系統。兩個量子算符對易關係等於 i\hbar 乘以對應的經典變量[27]。經過這量子化程序,計算克卜勒問題的卡西米爾算符 C_{1}本徵值沃爾夫岡·包利成功地推導出類氫原子原子能級(參閱圖 6 ),以及其發射光譜[3]。早在薛丁格方程式成立之前[28],包利就研究出這重要的結果!

LRL 向量 \mathbf{A} 的量子算符有一個奧妙之處,那就是動量算符與角動量算符並不對易。動量與角動量的叉積必須仔細地加以定義[26]。LRL 向量的直角座標分量典型地定義為

A_{k}\equiv - m_e \alpha \hat{r}_{k} + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} \epsilon_{ijk} \left( p_{i} l_{j} + l_{j} p_{i} \right)

其中,m_e 是電子的質量,常數 \alpha=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}e單位電荷量\epsilon_0真空電容率

這定義有一個特性:指標 i,\ j 是對稱的,指標 i,\ j 的互換不會改變 A_k 的數值。表示為向量形式,

\mathbf{A}=- m_e \alpha \hat{r}+\frac{1}{2}(\mathbf{p}\times\mathbf{L} - \mathbf{L}\times\mathbf{p})

那麼,其對應的哈密頓算符

H=\frac{\mathbf{p}^2}{2m_e} - \frac{\alpha }{r}

\mathbf{A} 向量成正比的 \mathbf{D} 向量則是

\mathbf{D}=\frac{\mathbf{A}}{\sqrt{ - 2m_eH}}

請注意,由於哈密頓算符的本徵值是負值,所以公式內的平方根是個實數。

經過一番繁冗的運算,可以求得對易關係:

\{L_{i},\,L_{j}\} = i\hbar\epsilon_{ijk} L_{k}
\{L_{i},\,D_{j}\} = i\hbar\epsilon_{ijk} D_{k}
\{D_{i},\,D_{j}\} = i\hbar\epsilon_{ijk} L_{k}
\{H,\,D_{i}\} =0

定義第一階張量算符

J_{0}\equiv D_3
J_{\pm 1}\equiv \mp \frac{1}{\sqrt{2}} \left( D_{1} \pm i D_{2} \right)

一個歸一化的第一卡西米爾算符可以同樣地定義為

C_1\equiv \mathbf{D}^2+\mathbf{L}^2=\frac{m_e\alpha^2}{ - 2H} - \hbar^2

注意到 J_{+1}J_{ - 1} 的對易關係是

\{J_{+1},J_{ - 1}\}=i\{D_{1},\,D_{2}\} = -\hbar L_{3}

應用維格納-艾卡定理 (Wigner-Eckart theorem) ,

J_0|l,\,m\rangle =i\sqrt{l^2 - m^2}\ \mathfrak{C}_l|l - 1,\,m\rangle - i\sqrt{(l+1)^2 - m^2}\ \mathfrak{C}_{l+1}|l+1,\,m\rangle
J_{+1}|l,\,m\rangle = - i\sqrt{(l - m)(l - m - 1)/2}\ \mathfrak{C}_l|l - 1,\,m+1\rangle - i\sqrt{(l+m+1)(l+m+2)/2}\ \mathfrak{C}_{l+1}|l+1,\,m+1\rangle
J_{ - 1}|l,\,m\rangle = - i\sqrt{(l+m)(l+m - 1)/2}\ \mathfrak{C}_l|l - 1,\,m - 1\rangle - i\sqrt{(l - m+1)(l - m+2)/2}\ \mathfrak{C}_{l+1}|l+1,\,m - 1\rangle

其中,|l,\,m\rangle角量子數l磁量子數l本徵態\mathfrak{C}_l 是常數係數。

經過一番運算, J_{+1}J_{ - 1} 的對易算符作用於 |l,\,m\rangle 的結果是

\begin{align}\{J_{+1},\,J_{ - 1}\}|l,\,m\rangle & = - m[(2l-1)\mathfrak{C}_l^2-(2l+3)\mathfrak{C}_{l+1}^2]|l,\,m\rangle \\
 & = - \hbar L_3|l,\,m\rangle= - m\hbar^2 \\
\end{align}

所以,\mathfrak{C}_l遞迴關係

(2l - 1)\mathfrak{C}_l^2 - (2l+3)\mathfrak{C}_{l+1}^2= \hbar^2

假設 \mathfrak{C}_l^2 是非負值,則為了滿足上述公式,l>0 。再假設 l 的最大值是 l_{max} 。由於態向量 |l_{max}+1,\,\ \rangle 不存在,\mathfrak{C}_{l_{max}+1}=0 。因此,\mathfrak{C}_{l_{max}}=\frac{\hbar^2}{2l_{max} - 1} 。設定 n=l_{max} - 1 ,稍加計算,\mathfrak{C}_l 的一般方程式為

\mathfrak{C}_l=\sqrt{\frac{n^2 - l^2}{4l^2 - 1}}\ \hbar

這個 n 就是跟能級有關的主量子數。先計算 D^2

\begin{align}D^2|n,\,l,\,m\rangle & =[J_{+1}J_{ - 1}+J_{ - 1}J_{+1}+J_0^2]|n,\,l,\,m\rangle \\
 & =(n^2 - l^2 - l - 1)\hbar^2|n,\,l,\,m\rangle \\
\end{align}

所以,第一卡西米爾算符 C_1 作用於態向量 |n,\,l,\,m\rangle 可以得到

C_1|n,\,l,\,m\rangle=(D^2+L^2)|n,\,l,\,m\rangle=(n^2 - 1)\hbar^2|n,\,l,\,m\rangle

第一卡西米爾算符 C_{1} 的本徵值是 (n^2 - 1)\hbar^2 。重點是,這些本徵值跟量子數 lm 無關,這造成了原子能階簡併[26]

E_{n} = - \frac{m_e \alpha^{2}}{2\hbar^{2} n^{2}}= - \frac{m_e e^4}{2n^2(4\pi\epsilon_0)^2\hbar^2}

這就是著名的氫原子波耳公式

保守性與對稱性[编辑]

在克卜勒問題裏,LRL 向量的保守性 對應於系統的一種微妙的對稱性。在經典力學裏,對稱性可以由連續運算顯示出來;這連續運算可以將一個軌道映射至另外一個軌道,而同時保持系統的能量不變。在量子力學裏,連續運算將同能級原子軌域混合在一起,也就是說,(簡併原子能級)。

通常,對於每一個對稱性都會存在有一個保守量[1]。例如,連心力系統必對稱於旋轉群 SO(3) ;因而指引出角動量 \mathbf{L} 的保守性。在經典力學裏,整個系統的旋轉不會影響軌道的能量。在量子力學裏,假若旋轉只混合角量子數相同的球諧函數,則系統的能量不會改變。

圖 7 :同能量的動量的速端曲線家族。每一個圓圈都經過在px-軸上,同樣的兩點 \pm p_{0} = \pm \sqrt{2m\left| E \right|} 。這一家族的速端曲線對應於一個家族的阿波羅尼奧斯圓,和雙極坐標\sigma 坐標曲面

平方反比連心力系統的對稱性是更高維與更微妙的。這奇特的對稱性是由角動量 \mathbf{L} 與 LRL 向量 \mathbf{A} 的雙重保守性造成的;這保證了氫原子的能級跟角量子數 l 、磁量子數 m 無關。由於對稱性運算必須發生於更高維空間,使得這對稱性更加的微妙;這類的對稱性常稱為隱祕對稱性[29]。在經典力學裏,克卜勒問題的高維對稱性 容許連續的改變軌道.只要保持能量不變,而角動量可以改變;換句話說,同能量,不同角動量(離心率)的軌道可以互相的連續變換。在量子力學裏,這對應著不同角量子數 l 與磁量子數 m 的軌域的混合,例如 s (l=0)p (l=1) 原子軌域的混合。這種混合是不能用普通的三維平移運算或旋轉運算達成的。可是,這種混合等價於高維度空間的旋轉。

在一個束縛 (bounded) 系統裏,能量是負值的,這高維對稱群是 SO(4) ;特性是四維向量的長度保持不變:

\left| \mathbf{e} \right|^2=e_1^2+e_2^2+e_3^2+e_4^2

1935 年,弗拉基米爾·佛克 (Vladimir Fock)表明,在量子力學裏,束縛的克卜勒問題 等價於 一個粒子自由地移動於 四維空間的三維單位球[4]。更具體地,佛克表明,在克卜勒問題的動量空間,薛丁格波函數球諧函數球極平面投影。圓球的旋轉與重複射影造成了橢圓軌域的連續映射,同時維持能量不變;這對應於主量子數 n 相同的軌域的混合。隨後,華倫泰·巴格曼注意到,跟 LRL 向量成比例的向量 \mathbf{D} 與角動量 \mathbf{L}帕松括號形成 SO(4) 的李代數[5]。簡單地說,\mathbf{D}\mathbf{L} 的六個物理量對應於在四維空間裏的六個保守的角動量分量,相伴於在四維空間裏的六個合法的簡單旋轉(從四個軸中,選兩個軸為旋轉軸。一共有六種可能)。這結論並不意示宇宙是一個三維球面;而只是說,這個特別的物理問題(克卜勒問題),在數學上,等價於移動於三維球面的一個自由粒子。

在一個非束縛 (unbound) ,散射系統裏,能量是正值的,對應的高維對稱群是 SO(3,1) ;其特性是保持四維矢量閔考斯基長度不變:

ds^{2} = e_{1}^{2} + e_{2}^{2} + e_{3}^{2} - e_{4}^{2}

連心力系統(包括克卜勒問題的那些系統)的軌道對於反射也具有對稱性。所以,軌道的完全對稱群並不是前面所提的 SO(3) 、SO(4) 、SO(3,1) 群;而分別是 O(3)O(4) 、O(3,1) 。然而,只需要連通子群 SO(3) 、SO(4) 、SO(3,1) 來展示出角動量與 LRL 向量的保守性;反射對稱性與保守性不相關。保守性可以由群的李代數推導出來[30][31]

旋轉對稱性在四維空間[编辑]

圖 8 :圖 7 的動量的速端曲線對應於 \eta 三維單位球大圓線球極平面投影。每一個大圓線都與 \eta_x-軸相交,後者垂直於頁面。投影是從北極( w 單位向量)到 \eta_x\eta_x-平面,如同這裏的虛黑線表示於品紅色速端曲線。在緯度 \alpha 的大圓線對應於離心率 e=sin\ \alpha 。在這圖裏的大圓線的顏色對應於它們在圖 7 的速端曲線。

克卜勒問題與四維旋轉對稱性 SO(4) 的關聯可以很容易地觀察出來[30][32][33]。標記四維直角座標(w,\ x,\ y,\ z) ;其中, (x,\ y,\ z) 代表三維位置向量 \mathbf{r} 的直角座標。三維動量 \mathbf{p}三維單位球的四維向量 \boldsymbol\eta 的關係為

\boldsymbol\eta =\displaystyle \frac{p^{2} - p_{0}^{2}}{p^{2} + p_{0}^{2}} \mathbf{\hat{w}} + \frac{2 p_{0}}{p^{2} + p_{0}^{2}} \mathbf{p}

其中, \mathbf{\hat{w}} 是新的 w-軸的單位向量。

很簡單地,可以核對 \boldsymbol\eta 也是一個單位向量:

\boldsymbol\eta=\hat{\boldsymbol\eta}

\mathbf{p}\hat{\boldsymbol\eta}映射有一個獨特唯一的逆反;例如,動量 \mathbf{p} 的 x-軸分量是

p_{x} = p_{0} \frac{\eta_{x}}{1 - \eta_{w}}

p_yp_z 也有類似的公式。換句話說,三維動量向量 \mathbf{p} 是四維單位向量 \hat{\boldsymbol\eta}球極平面投影,其比例因子為 p_0

選擇一個合適的直角座標,使 z-軸與角動量 \mathbf{L} 同直線,使動量的速端曲線的取向如同圖 7 ,圓心包含於 y-軸。這樣,不失廣義性,就可以觀察到這旋轉對稱性。由於粒子的運動包含於一個平面,\mathbf{p}\mathbf{L} 互相垂直,而且,p_z=\eta_z=0 。因此,只需要專注於三維向量 \hat{\boldsymbol\eta}=(\eta_w,\ \eta_x,\ \eta_y) 。圖 7 速端曲線的阿波羅尼奧斯圓 家族對應於在三維單位球 \boldsymbol\eta大圓線家族。每一個大圓線與 \eta_x 相交於兩個交點 \eta_x=\pm 1 。這兩個交點相對於速端曲線圖的兩點 p_x=\pm p_0 。這兩個交點也是這些大圓線的共同交點。所以,這些大圓線的互相關係是一個環繞著 \eta_x-軸的簡單旋轉(參閱圖 8 )。以 \eta_x-軸為轉軸,每一個大圓線的位置是從 \eta_x\eta_y-平面旋轉 \alpha 角。

取任意一個大圓線 \eta_y 最大值的一點,其坐標為 (\eta_w,\ 0,\ \eta_y,\ 0) 。那麼,

p_x=0
p_y=p=(A+mk)/L
\eta_y=cos(\alpha)=\frac{2p_0 p_y}{p_y^2+p_0^2}

經過一番運算,代入 p_0 的值,可以得到

\begin{align} sin(\alpha) & =\frac{p_y^2 - p_0^2}{p_y^2+p_0^2} \\
 & =\frac{(A+mk)^2 - 2m|E|L^2}{(A+mk)^2+2m|E|L^2} \\
\end{align}

給予一個束縛軌道,能量是負值的:

\begin{align} sin(\alpha) & =\frac{(A+mk)^2+2mEL^2}{(A+mk)^2 - 2mEL^2} \\
 & =\frac{A}{mk}=e \\
\end{align}

所以,離心率 e=sin(\alpha) 是緯度 \alpha正弦函數

由於圖 7 的動量的速端曲線對應於 \eta 三維單位球的大圓線的球極平面投影,而這速端曲線家族的成員都擁有相同的能量。所以,這旋轉的對稱性使所有能量相同的軌道都能夠互相變換。但是,這旋轉正交於通常的三維旋轉,因為它涉及了第四維 \eta_w 。高維度的對稱性是克卜勒問題對應於 LRL 向量的一個特徵。

採用橢圓柱坐標 \chi,\ \psi,\ \phi 來代替四維座標 \boldsymbol\eta ,克卜勒問題有一個精緻的作用量-角度座標解答[34]

\eta_{w} = \mathrm{cn}\, \chi \  \mathrm{cn}\, \psi
\eta_{x} = \mathrm{sn}\, \chi \  \mathrm{dn}\, \psi \  \cos \phi
\eta_{y} = \mathrm{sn}\, \chi \  \mathrm{dn}\, \psi \  \sin \phi
\eta_{z} = \mathrm{dn}\, \chi \  \mathrm{sn}\, \psi

其中, \mathrm{sn},\,\mathrm{cn},\,\mathrm{dn}亞可比橢圓函數

克卜勒問題 LRL 向量恆定的證明[编辑]

以下幾種導引可以証明,在平方反比連心力下,LRL 向量守恆。

直接證明[编辑]

假設,一個連心力 f(\mathbf{r})\hat{\mathbf{r}} 作用於一個粒子。根據牛頓第二定律,運動方程式為

\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}=f(\mathbf{r}) \hat{\mathbf{r}}

其中,f(\mathbf{r}) 是函數,\mathbf{r} 為粒子的位置,\mathbf{p} 是動量,t 是時間。

由於在連心力下,角動量 \mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} 是恆定的,

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf{L} = 0

所以,

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \mathbf{p}\times\mathbf{L} \right)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} \times \mathbf{L}  = f(\mathbf{r}) \mathbf{\hat{r}} \times \left( \mathbf{r} \times m \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} \right) = f(\mathbf{r}) \frac{m}{r} \left[ \mathbf{r} \left(\mathbf{r} \cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} \right) - r^{2} \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} \right]

代入以下恆等式

\mathbf{r}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}\right) =\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(r^{2}\right)=r\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}

可以得到方程式,

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) = 
- m f(\mathbf{r}) r^{2} \left[ \frac{1}{r} \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} - \frac{\mathbf{r}}{r^{2}} \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\right] = - m f(\mathbf{r}) r^{2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\mathbf{r}}{r}\right)

代入平方反比連心力的方程式 f(\mathbf{r})=\frac{ - k}{r^{2}}

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) = 
m k \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\mathbf{r}}{r}\right) = 
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( mk\mathbf{\hat{r}} \right)

所以,在平方反比連心力下,\mathbf{A} 是恆定的:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mathbf{A} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( mk\mathbf{\hat{r}} \right) = 0

哈密頓-亞可比方程式[编辑]

哈密頓-亞可比方程式的可分性也可以用推導出 LRL 向量的恆定性[19][35]。採用拋物線座標 (\xi,\ \eta) ,定義

\xi =r+x
\eta =r - x

其中,(x,\ y)直角座標r 是軌道的徑向距離:

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

逆反過來,

x = \frac{1}{2} \left( \xi - \eta \right)
y = \sqrt{\xi\eta}

則克卜勒問題的哈密頓量

\begin{align}H & = \frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}m\dot{y}^2-\frac{k}{r} \\
  & =\frac{2\xi p_{\xi}^2}{m(\xi+\eta)}+\frac{2\eta p_{\eta}^2}{m(\xi+\eta)} - \frac{2k}{\xi+\eta} \\  \end{align}

其中,p_{\xi},\ p_{\eta} 分別是廣義座標 \xi,\ \eta 的共軛動量。

由於克卜勒問題的勢函數只跟廣義座標有關,哈密頓量是個能量運動常數,H=E 。稍加編排,可以得到

2\xi p_{\xi}^2 - mk - mE\xi= - 2\eta p_{\eta}^2+mk+mE\eta

這公式的左手邊與右手邊分別跟不同的廣義座標有關,所以,兩邊都相等於一個運動常數,標記為 \Gamma

2\xi p_{\xi}^{2} - mk - mE\xi = - \Gamma
2\eta p_{\eta}^{2} - mk - mE\eta = \Gamma

思考 LRL 向量的 x 分量,

\begin{align} A_{x} & = p_{y}(xp_{y} - yp_{x}) - mk\frac{x}{r} \\
  & = xp_{y}^2 - yp_{x}p_y - mk+m\eta\frac{k}{r} \\ \end{align}

代入能量方程式 E=\frac{1}{2}mv^2 - \frac{k}{r} ,則

A_{x}=xp_{y}^2 - yp_{x}p_y+\frac{1}{2}m^2 v^2 \eta - mk - mE\eta

這公式右手邊,前三個項目,經過一番計算,可以得到

xp_{y}^2 - yp_{x}p_y+\frac{1}{2}m^2 v^2 \eta =\frac{m^2}{8}\dot{\eta}^2\frac{(\eta+\xi)^2}{\eta}=2\eta p_{\eta}^2

所以,A_x 也是運動常數:

A_x=\Gamma

諾特定理[编辑]

LRL 向量的保守性與前面所提的旋轉對稱性,兩者之間的關係,可以用諾特定理來做連結分析。諾特定理也可以用來辨明 LRL 向量是運動常數。諾特定理表明[36]:在一個物理系統裏,對於廣義坐標 q_{i} 的微小變分 \delta q_{i} = \epsilon g_{i}(\mathbf{q},\ \mathbf{\dot{q}},\ t) ,假若,取至微小參數 \epsilon 的一階,拉格朗日量 \mathcal{L}變分 \delta \mathcal{L}

\delta \mathcal{L} = \epsilon \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} G(\mathbf{q},\ t)

則必存在保守量 \Gamma 滿足方程式

\Gamma = - G+\sum_{i}g_i\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{q}_i}\right)

其中,g_i(\mathbf{q},\ \mathbf{\dot{q}},\ t)G(\mathbf{q},\ t) 都是函數。

更具體地,在一個克卜勒問題裏,試設定坐標 x_{i} 的微小變分為

\delta x_i=\frac{\epsilon}{2} \left[ 2p_{i}x_{s} - x_{i}p_{s} - (\mathbf{r}\cdot \mathbf{p})\delta_{is} \right]

其中,i=1,\ 2,\ 3x_ip_i 分別為位置 \mathbf{r} 與動量 \mathbf{p}i-軸分量,\delta_{is}克羅內克爾δs 是固定的下標。

由於克卜勒問題的拉格朗日量是

\mathcal{L}=\sum_{i}\left(\frac{1}{2}m\dot{x}_i\dot{x}_i\right)+\frac{k}{r}

運動方程式

m\ddot{x}_i+k\frac{x_i}{r^3}=0

對應於坐標 x_{i} 的變分,速度 \dot{x}_{i} 的變分為

\begin{align} \delta \dot{x}_{i} & = \frac{\epsilon}{2} \left[2\dot{p}_{i} x_{s}-x_{i}\dot{p}_{s}+p_{i}\dot{x}_{s} - \frac{p^2}{m}\delta_{is} - (\mathbf{r}\cdot\dot{\mathbf{p}})\delta_{is} \right] \\
 & = \frac{\epsilon}{2}  \left[ - \frac{k}{r^3}x_i x_s+p_{i}\dot{x}_{s} - \frac{p^2}{m}\delta_{is} +\frac{k}{r}\delta_{is} \right] \\  \end{align}

拉格朗日量取至一階的變分是

\begin{align}  \delta \mathcal{L} & =\sum_{i}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_i}\delta x_i + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}_i}\delta \dot{x}_i\right)  \\
 & =\sum_{i}\left( - \frac{kx_i}{r^3}\delta x_i+m\dot{x}_i\delta\dot{x}_i\right)  \\ 
\end{align}

代入 \delta x_i\delta\dot{x}_i 的公式,經過一番繁瑣的運算,可以得到

\delta\mathcal{L}=\epsilon mk\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{x_{s}}{r} \right)

再代入保守量 \Gamma 的公式,則會得到

\Gamma=p^{2} x_{s} - p_{s}\left(\mathbf{r} \cdot \mathbf{p}\right) - \frac{mkx_{s}}{r}=\left[\mathbf{p}\times \mathbf{L} - mk\hat{\mathbf{r}}\right]_{s}

而這正是 LRL 向量的 s-軸分量 A_s

李變換[编辑]

圖 9: 推導出 LRL 向量保守性的李變換。當這比例參數 \lambda 改變時,能量與角動量的大小也一起改變,可是離心率 e 與 LRL 向量 \mathbf{A} 的大小與方向不變。

諾特定理精緻地推導出 LRL 向量的保守性。美中不足地,這導引有一個弱點:坐標變分\delta x_{i} 不只涉及了位置 \mathbf{r} ,而且還涉及了動量 \mathbf{p} [37] 。假若,使用數學家索菲斯·李創建的方法來推導,可以除去這弱點[38][39] 。具體地,定義一個李變換[29],座標 \mathbf{r} 與時間 t 都按照比例變換,比例是參數 \lambda 的不同羃數:

t \rightarrow \lambda^{3}t, \ 
\mathbf{r} \rightarrow \lambda^{2}\mathbf{r}, \ 
\mathbf{p} \rightarrow \frac{1}{\lambda}\mathbf{p}

這變換改變了角動量 L 的大小與能量 E

L \rightarrow \lambda L, \ E \rightarrow \frac{1}{\lambda^{2}} E

可是,仍舊保持乘積 EL^2 不變。所以,離心率 e 與 LRL 向量 \mathbf{A} 的大小不變。這可以從 A^2 的公式觀察出:

A^2 = m^2 k^2 e^{2} = m^2 k^2 + 2 m E L^2

由於半短軸半長軸的取向 不因整體的比例變換 而改變,LRL 向量 \mathbf{A} 的方向也會保持不變。在李變換下,克卜勒第三定律也仍舊成立:半長軸 a 與週期 T 形成常數{T^2}/{a^3}

推廣至別種位勢和相對論[编辑]

LRL 向量可以推廣至其他狀況;可以用來辨認在其他狀況下的保守值。

假設,一個物理系統裏,存在著電場 \mathbf{E} ,保守的廣義 LRL 向量 \mathcal{A}[19][40]

\mathcal{A} = \mathbf{A} + \frac{mq}{2} \left[ \left( \mathbf{r} \times \mathbf{E} \right) \times \mathbf{r} \right]

其中,q 是粒子的電荷量

最廣義的 LRL 向量的形式可以表達為[8]

\mathcal{A}=\left( \frac{\partial \xi}{\partial u} \right) \left(\mathbf{p} \times \mathbf{L}\right)+\left[\xi - u \left( \frac{\partial \xi}{\partial u} \right)\right] L^{2}  \mathbf{\hat{r}}

其中,u=\frac{1}{r} (參閱伯特蘭定理),\xi=\cos\theta ,角 \theta 定義為

\theta = L \int^{u} \frac{du}{\sqrt{m^{2} c^{2} \left(\gamma^{2} - 1 \right) - L^{2} u^{2}}}

其中,\gamma勞侖茲因子

如同前面所提,計算 \mathbf{L}\mathcal{A} 的叉積,可以得到一個保守的副法線向量 \mathcal{B}

\mathcal{B}=\mathbf{L}\times\mathcal{A}

綜和兩個向量成為一個保守的並矢張量 \mathcal{W}

\mathcal{W} = \alpha \mathcal{A} \otimes \mathcal{A} + \beta \, \mathcal{B} \otimes \mathcal{B}

舉例說明,計算一個非相對論性,均向性諧振子的 LRL 向量。由於作用力是連心力\mathbf{F}(r)= -k \mathbf{r},力子的角動量是保守的,粒子的運動包含於一個平面。請注意, \mathbf{P}\mathbf{L} 不是一定互相垂直的。保守的並矢張量可以表達為一個簡單的形式:

\mathcal{W} = \frac{1}{2m} \mathbf{p} \otimes \mathbf{p} + \frac{k}{2} \, \mathbf{r} \otimes \mathbf{r}

其相應的 LRL 向量必較複雜

\mathcal{A} = \frac{1}{\sqrt{mr^{2}\omega_{0} A - mr^{2}E + L^{2}}} \left\{ \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) + \left(mr\omega_{0} A - mrE \right) \mathbf{\hat{r}} \right\}

其中, \omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}} 是自然振率。

別種比例與表述[编辑]

不同於動量與角動量,並沒有學術界一致認同的 LRL 向量定義;在科學文獻裏,存在有幾種不同的比例因子與符號。前面所述的定義是最普遍的定義。另外一種常見的定義,將 \mathbf{A} 除以常數 mk ;這樣,可以得到一個無因次的離心率向量  \mathbf{e}

 \mathbf{e}=\frac{1}{mk} \left(\mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) - \mathbf{\hat{r}} = \frac{m}{k} \left(\mathbf{v} \times \mathbf{L}\right) - \mathbf{\hat{r}}

其中,\mathbf{v} 是速度。

離心率向量  \mathbf{e} 的方向與 \mathbf{A} 相同,大小是軌道的離心率

別種比例的版本也可能會用到。例如,將 \mathbf{A} 除以 m

 \mathbf{M} = \mathbf{v} \times \mathbf{L} - k\mathbf{\hat{r}}

或者,將 \mathbf{A} 除以 P_0

\mathbf{D}=\frac{\mathbf{A}}{P_{0}}=\frac{1}{\sqrt{2m\left| E \right|}} 
\left\{ \mathbf{p} \times \mathbf{L} - m k \mathbf{\hat{r}} \right\}

\mathbf{D} 與角動量 \mathbf{L} 的單位相同。在非常稀有的狀況, LRL 向量的正負號會改變。這些,都不會影響它是運動常數的事實。

圖 4: 角動量 \mathbf{L} , LRL 向量 \mathbf{A} ,與副法線向量 \mathbf{B} 都互相垂直。\mathbf{A}\mathbf{B} 分別和橢圓的半長軸與半短軸的指向相同。

另外一個保守的向量是副法線向量 \mathbf{B}威廉·哈密頓曾經研究過這向量[7]

\mathbf{B} = \mathbf{p} - \left(\frac{mk}{L^{2}r} \right) \  \left( \mathbf{L} \times \mathbf{r} \right)

這保守的向量與橢圓的半短軸同直線。\mathbf{A}\mathbf{B} 叉積 \mathbf{L} (參閱圖 4 )。兩個向量 \mathbf{A}\mathbf{B} 可以結合起來形成一個保守的並矢張量 \mathcal{W} [8]

\mathcal{W} = \alpha \mathbf{A} \otimes \mathbf{A} + \beta \, \mathbf{B} \otimes \mathbf{B}

其中,\alpha\beta 是任意比例常數,符號 \otimes 表示張量積。展開這公式為

\mathcal{W}_{ij} = \alpha A_{i} A_{j} + \beta B_{i} B_{j}

由於兩個向量互相垂直,\mathbf{A}\mathbf{B} 可以視為保守的張量 \mathcal{W}主軸,也就是說,按比例的特徵向量。由於\mathbf{A}\mathbf{B} 都垂直於 \mathbf{L} ,張量 \mathcal{W} 垂直於角動量 \mathbf{L}

\mathbf{L} \cdot \mathcal{W} =  
\alpha \left( \mathbf{L} \cdot \mathbf{A} \right) \mathbf{A} + \beta \left( \mathbf{L} \cdot \mathbf{B} \right) \mathbf{B} = 0

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

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外部連結[编辑]