極大緊子群

數學中，一個拓撲群 G 的極大緊子群 K 是一個在子空間拓撲下是緊空間的子群，且是這些子群中的極大元。

一個一般李群不一定有極大緊子群，但半單李群卻一定存在，而且他們在理論中有重要地位。極大緊子群一般不是惟一的，但在相差一個共軛的意義下是惟一的——他們是本質惟一的。

例子[編輯]

一個好例子是正交群 O(2)，是一般線性群 GL(2,R) 的極大緊子群。一個相關的例子是循環群 SO(2)，是SL(2, R)的極大緊子群。顯然 SO(2) 在 GL(2, R) 中緊但不是極大元。非惟一性可從任何一個內積有一個相應的正交群看出來，本質惟一性對應於內積的本質惟一性。

定義[編輯]

一個極大緊子群是緊子群種的極大群——極大（緊子群）——而不是一個極大子群如果它恰是緊群；後者也許可以稱為緊（極大子群），但是任何時候都不是所想要意思（事實上極大正規子群一般都不是緊群）。

存在和惟一[編輯]

存在[編輯]

一個一般李群不一定有極大緊子群，但半單李群卻一定存在。這是岩澤分解的一個推論，岩澤分解是一個更強的結論。

惟一[編輯]

極大緊子群不是惟一的除非群 G 是一個緊群和可縮群的半直積。但極大緊子群差一個共軛是惟一的，也就是說任意兩個極大緊子群 $K$ 和 $L$ 存在^[1] $g\in G$ 使得 $gKg^{-1}=L$ ，從而一個極大緊子群是本質惟一的。故人們常直接說一個群的極大緊子群，而不指明。

非惟一性是因為給定任意 $h\in G$ 且 $h\not \in K$ ，以 h 做共軛得到子群 $hKh^{-1}$ 同樣是一個極大緊子群。從而 K 是惟一的當且僅當 $hKh^{-1}=K$ ，即 K是正規的。由岩澤分解，K 有一個截線（transversa），故群 G 分裂。

以正交群為例，任意內積定義一個（緊）正交群，以廣義正交群的一個元素做共軛後對這個內積來說一般不再是正交的。

應用[編輯]

表示論[編輯]

當 G 不是緊群時，極大緊子群在表示論中有着基礎地位。這時極大緊子群 K 是一個緊子群（因為李群的任一閉子群都是李子群），從而可以化簡理論。

同 G 和 K 的表示論相關的變換是從 G 到 K 的限制表示，以及從 K 到 G 的誘導表示，這些是很好理解的；它們的理論包含球函數。

拓撲[編輯]

半單李群的代數拓撲性質大多由極大緊子群 K 攜帶。確切地說，一個半單李群是極大緊子群 K 和一個可縮空間的乘積（ $G=K\times C$ ），特別的 K 是 G 的一個形變收縮核，K 同倫等價於 G，從而它們有同樣的同倫群。事實上，嵌入映射 $K\hookrightarrow G$ 和收縮映射 $G\twoheadrightarrow K$ 同論等價。