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拉比判别法

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无穷级数
无穷级数

拉比判别法(英语:Raabe's Test)是判断一个级数收敛的方法。在判断比几何级数收敛得慢的级数时,比柯西判别法达朗贝尔判别法更有效。[1]

定理

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对任意级数

  • 如果存在 ,使得当 时,有
那么级数绝对收敛
  • 如果对充分大的 ,有
那么级数发散。[1]

极限形式

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对任意级数 ,令

  • 时级数绝对收敛
  • 时说明级数 发散(没有绝对收敛),原级数 可能收敛也可能发散。
  • 时级数可能收敛也可能发散[2][3]

证明

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  • 时,存在 使得 . 则:
对充分大的

因为当 时级数 收敛,故级数 时收敛,即级数 绝对收敛。 [4]

  • 时,有
,则
,即
由于 发散,故 发散。[1]

例子

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时无法判断其敛散性,举例如下:

已知有
已知当 时, ;当 时, ,然而由上式得
这说明当 时,拉比判别法无效。[5]

参考文献

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 常庚哲,史济怀. 数学分析教程(下册). 安徽合肥: 中国科学技术大学出版社. 2013: 第173页. ISBN 9787312031311. 
  2. ^ 谢惠民. 数学分析习题课讲义. 北京: 高等教育出版社. 2004: 第8页. ISBN 9787040129410. 
  3. ^ Weisstein, Eric W. (编). Raabe's Test. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2015-09-02]. (原始内容存档于2015-04-02) (英语). 
  4. ^ Mathumatiks :: Raabes Test and Logarithmic Test. mathumatiks.org. [2015-09-03]. (原始内容存档于2016-03-04). 
  5. ^ Weisstein, Eric W. (编). Wolfram MathWorld (首頁). at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2015-09-02]. (原始内容存档于2015-09-05) (英语).