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相干性

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物理学中,相干性coherence)又称同调性[1],陈述两列波相互干扰的可能性。来自同一单光源的两单色光束总是相互干扰(干涉)[2]。若两个波源的频率波形相同,则它们是相干的(coherent)或同调的。相干的的两波物理源(physical source)并不严格限单色的,它们可能是部分相干的(partly coherent)。但来自不同物理源的光束,则互为非相干的[3](incoherent)。

相干性是波的一个理想内禀属性英语Intrinsic and extrinsic properties,它使波可进行“定态干涉”(stationary interference,时间或空间固定下的干涉);亦即为了产生显著的干涉现象,所需具备的性质。相干性描述一个波列在同一时间不同位置,或者在同一位置不同时间的“振动间有恒定相位关系”的特性,可分为空间相干性、时间相干性和部分相干性三种。更概括地说,相干性描述了单波与自己、多波之间、波包之间,某些物理量间的相关特性

当两个波彼此相互干涉时,因为相位的差异,会造成相长干涉或相消干涉。假若两个正弦波的相位差为常数,则这两个波的频率必定相同,称这两个波“完全相干”。两个“完全不相干”的波,例如白炽灯太阳所发射出的光波,由于产生的干涉图样不稳定,无法被明显地观察到。在这两种极端之间,存在著“部分相干”的波。[注 1]

相干性大致分为时间相干性空间相干性两类。时间相干性与波的频宽有关;而空间相干性则与波源的有限尺寸有关。

波与波之间的相干性可以用相干度英语degree of coherence来量度。干涉可见度英语interference visibility是波与波之间的干涉图样的辐照度对比,相干度可以从干涉可见度计算出来。

波源

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一般而言,互不相关的波源无法形成可观察到的干涉图样。例如白炽灯太阳是由很多互不相关、持续生成的微小发光点所组成,每一个发光点只会作用一段时间,发射出一个有限长度的波列,之后,再也不会发光,但在其它位置,又会出现新的发光点。为了要能拍摄到这类光源所产生的由两个波列叠加形成的干涉图样,摄影仪器的曝光时间必须要小于。在旧时,无法制造出这么高阶的摄影仪器,因此从这类光源很难拍摄到干涉图样。[5]但是,通过适当处理,仍旧可以观察到这些光源的干涉图样。[6]:457, 460

为了要观察到这些互不相关的波源所形成的涉图样,必须从这些波源制造出相干性较高的波。有两种方法可以达成这目标:

  1. 第一种方法称为“波前分割法”。从微小波源发射出的波,其波前与微小波源之间的距离大致相等。使用具有几条狭缝的档板来过滤从微小波源发射出的波,只要这些狭缝与微小波源之间的距离相等,就可以保证同样的波前入射于这几条狭缝。位于波前的每一点都可以视为一个波源,会发射出次波。因此,从这几条狭缝衍射出来的次波,其相位大致相同。杨氏双缝实验就是藉著这方法制成两束相干性较高的光波,这两束光波会在观察屏产生干涉图样。
  2. 第二种方法称为“波幅分割法”。用半透射、半反射的半镀银镜,可以将光波一分为二,制造出透射波与反射波,这两束光波非常相似,相干性非常高。假设这两束光波的光程长度不相等,则由于在观察屏的相位不同,会产生明显不同的干涉图样。迈克生干涉仪使用的就是这种方法。[5]

自从激光激微波的发明以后,物理学者不再为寻找高相干性的光源这问题而烦恼,激光所制造出来的波列通常能维持之久。这给予足够的曝光时间来拍摄干涉图样。

应用

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以前,只有在学习光学杨式双缝实验时,才会接触到相干性这术语。现今许多涉及波动的领域,像声学电子工程量子力学等等,都会使用到这术语。许多科技的运作都倚赖相干性质为基础。例如,全像摄影术音波相位阵列光学相干断层扫描天文光学干涉仪、与射电望远镜、等等。

相干性与相关性

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两个波的相干性,称为“互相干性”,来自于它们彼此之间的相关程度,也就是说,它们彼此之间的相似程度。互相关函数可以量度互相干性。[7]:564[6]:545-550 互相关函数可以量度从一个波预测另一个波的能力。举例而言,设想完全同步相关的两个波。在任意时间,假若一个波发生任何变化,则另一个波也会做出同样的变化;让这两个波互相干涉,则在任意时间,它们都会展示出完全相长干涉,它们具有完全相干性。互相关函数可以用来支持模式识别系统,例如,指纹识别

如稍后所述,第二个波不必是另外一个实体,它可能是在不同时间或不同位置的第一个波。这案例所涉及的相关称为“自相干性”;对于这案例,可以用自相关函数来量度自相干性。自相关函数可以用来从带有随机噪声背景的信号中提取出资讯信号。[6]:545-550

严格定义

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假设在点S1、点S2的波扰分别为波浪号代表复数),则其互相关函数[6]:566-571[8]:115-118

其中,单书名号表示取时间平均值,是平均的时间间隔,是相对时移。

互相关函数又称为“互相干函数”。理论而言,必需取趋向于无穷大的极限;然而,实际而言,只要平均的时间间隔比相干时间(大约是有限长度的波列通过某固定点的有限时间)长久很多就行了。

从互相关函数的定义式,可以衍生出自相关函数,又称为“自相干函数”。波与相对时移的自己波,两者之间的自相干函数为

归一化的互相干函数又称为两个波的“复相干度”,以方程式表示为

柯西-施瓦茨不等式可以推导出

绝对值就是“相干度”。当时,波与波完全相干;当时,两个波完全不相干;当时,两个波部分相干。

本图展示各种干涉图样的明暗条纹的清晰程度与干涉可见度的关系。纵轴是辐照度除以最大辐照度,横轴是空间坐标。

“干涉可见度”量度干涉图样的明暗条纹的清晰程度,以方程式定义,

其中,分别为干涉图样的最大辐照度与最小幅照度。

干涉可见度的范围在0到1之间。假设两个波的振幅相等,则干涉可见度等于相干度:

各种波动实例

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下述这些波的共同之处是,它们的物理行为可以用波动方程式或推广的波动方程式来描述:

这些种类的波的物理行为,大多数可以直接测量获得。因此,波与波之间的互相干函数可以很简单地求得。但是,在光学里,不能直接的测量电磁场,因为电磁场的震荡太快,比任何探测器的时间分辨率还要快。[9]可行之道是测量光波的辐照度

大多数在这条目提到的涉及相干性的概念,都是先在光学领域发展成功,然后再适应于其它领域。因此,许多相干性测量标准都是采用间接地测量,甚至在可以直接测量的领域,都是这样做。

时间相干性

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图1:本图显示出,一个单色波的振幅(红色),与延迟了时间的自己波的振幅(绿色),这两个振幅随著时间的演进而变化。这两个波的相干时间是无穷大。因为,对于所有可能延迟时间,它们完全相干:[8]:118
图2:本图显示出,一个相位显著飘移的准单色波的振幅(红色,相干时间为),与延迟了时间的自己波的振幅(绿色),这两个振幅随著时间的演进而变化。在任何给定时间,红色波会与绿色波互相干涉。但是由于一半时间,红色波与绿色波同相,另一半时间,两个波异相,所以,对于这延迟,经过时间平均后,自相干函数可以近似为0。
图3:本图显示出,一个波包的振幅(红色)与延迟了时间的自己波包的振幅(绿色),这两个振幅随著时间的演进而变化。从本图可以观察到,经过时间,波包的振幅有显著地改变。在任何瞬时,红色波包与绿色波包是不相关的;当一个波包在做大幅度振荡的时候,另一个波包却是非常的平静。所以,在这里,并没有干涉效应发生。换另一种方法来看,波包并没有重叠于时间,在任何瞬时,最多只有一个波包贡献震荡,不会产生干涉。

一个波与延迟了时间的自己波,两者之间的自相干函数,可以用来量度时间相干性。对应的复相干度为,又称为“复时间相干度”。时间相干性可以表达波源的单色性质,可以量度一个波在延迟某时间后干涉自己的能力,因此又称为“纵向相干性”。经过一段延迟时间后,假若一个波的相位或波幅开始发生足够显著的变化(因此自相干函数开始显著地减小),则定义此延迟时间为“相干时间”。有限长度的波列通过某固定点的有限时间大约是相干时间。当时,一个波与自己的相干度为;而当时,相干度会显著地减小,显示在观察屏的干涉图样也会变得模糊不清。“相干长度”定义为,在相干时间内,波所能传播的距离,又称为“纵向相干长度”。[6]:560, 571-573

相干时间与频宽的关系

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由于周期倒数频率,一个波在越短时间内,变的不自相干(越小),则波的频宽越大。两个物理量的关系方程为[6]:358-359, 560

波长来表达,

数学表述,这结果可以从傅立叶变换推导出来。自相干函数的傅里叶变换就是功率谱英语power spectrum(每个频率的辐照度)。[6]:572

实例

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试想下述四个关于时间相干性的实例:

  • 对于任何时间间隔,一个单色波都是完全的自相干(参阅图1)。
  • 反过来说,一个相位迅速飘移的波,其相干时间必定很短(参阅图2)。
  • 类似地,具有较宽频域的脉冲波(一种波包),由于振幅迅速地变化,所以,相干时间很短(参阅图3)。
  • 白光拥有非常宽的频域,是一种振幅与相位都迅速变化的波。由于相干时间很短(10周期左右),常被称为“不相干波”。

白光的频宽大约为3×1014Hz,因此相干时间为3×10-15s,相干长度非常短,大约只有900nm。普通放电灯的频宽也很宽阔,因此相干长度也相当短,大约为几个mm数量级。国际标准Kr86低气压放电灯的相干长度比较长,大约为0.3m。[6]:316

激光通常是最单色的光源。高度的单色性意味著相干长度很长。例如,单模氦氖激光器能够发射相干长度接近400m的光。特别稳定性氦氖激光的相干长度可以达到1.5×107m。[6]:316

全息摄影需要用到长相干时间的光。[6]:635由于具有脉冲高能量与较长的相干时间这两种优点,红宝石激光时常被应用于全息摄影。[10]:549相对比较,光学相干断层扫描使用短相干时间的光。

测量方法

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图4:输入波为图 (2)或图 (3)的波,在辐照度干涉仪输出点侦测到的,经过时间平均后的辐照度,以延迟时间的函数形式绘制。假设将延迟时间改变半个周期,则干涉会从建设性转换为摧毁性,或从摧毁性转换为建设性。黑色曲线显示出干涉包络线,这是相干度的曲线。虽然,图 (2)或图 (3)的波有不同的持续期,它们有同样的相干时间。

在光学里,时间相干性可以用干涉仪来测量,例如,迈克生干涉仪马赫-曾德尔干涉仪。干涉仪先将输入波复制,延后时间,然后将输入波与复制波合并为输出波,再用辐照度探测器来测量经过时间平均后的输出波辐照度,得到的数据,稍加运算,可以求得干涉可见度。这样,可以知道延迟时间为的相干度。对于大多数的天然光源,由于相干时间超短于探测器的时间分辨率,探测器自己就可以完成时间平均工作。

思考图 (3)案例,在相干时间内,波的辐照度显著地涨落不定。假设延迟时间为,则一个无穷快的探测器所测量出的辐照度也会显著地涨落不定。对于这案例,可以手工计算辐照度的时间平均值来求得时间相干性。

空间相干性

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波源绵延有限尺寸的杨氏双缝实验示意图。最右边的干涉图样是由单独点波源产生的图样。

为了展示出显著的干涉图样,杨氏双缝实验所使用的光源必须具有空间相干性。光学影像系统与天文望远镜的制作必需考虑到光源的空间相干性。

空间相干性与波源的有限尺寸有关。这可以用杨式双缝实验来解释。在典型的杨式双缝实验里,只存在有一个点光源S,其所发射出的单色光,在通过不透明挡板的位于点S1、点S2的两条狭缝之后,会在观察屏显示出干涉图样。现在将这实验加以延伸,将点光源S改为绵延有限尺寸的线光源。从做实验获得的结果,物理学者发觉,假定线光源与挡板之间的距离足够远,则若要在观察屏的中央轴区域显示出干涉图样,必须先满足以下条件:[11]:42-43

其中,是点S1、点S2对于顶点S的夹角。是光波的平均波长。

注意到;其中,是两个狭缝之间的距离,是有限尺寸光源对于档板中央轴交点的夹角。所以,必须满足条件[11]:42-43

因此,可以估算这问题的“横向相干长度”为。假若两个狭缝之间的距离大于,则干涉图样会消灭殆尽。对于三维案例,可以使用物理量“相干面积”,以方程式表示为

在许多物理系统里,像水波或光波一类的波可以传播于一维或多维的空间。空间相干性量度位于点S1、点S2的两个波扰,经过时间平均后,彼此相互干涉的能力。更精确地说,空间相干性是这两个波扰除去了延迟时间因素之后的互相关函数。假设某波前的波幅为常数,则在其任意两个位置的波扰,彼此之间都具有完全空间相干性。

继续思考杨氏双缝实验,只专注于档板与观察屏之间的状况。假设点S1、点S2的两个波扰分别为,则其互相干函数与点S1、点S2的位置和延迟时间有关。由于在观察屏的干涉图样,其中心点Q是中央轴与观察屏的交点,从点S1、点S2同时发射的光波,会在同时抵达点Q,延迟时间为

其中,分别是从S1、点S2到点Q的距离,是光速。

因此,除去了延迟时间因素,互相干函数可以量度在点S1、点S2的两个波扰的空间相干性。复相干度称为在点S1、点S2的两个波扰的“复空间相干度”。[6]:572

实例

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图5:一个单色平面波,相干长度与相干面积为无穷值。

图6:一个波前不规则的单色波。因为在点X1与点X1后面λ整数倍数之处的波幅永远相同,相干长度为无穷值,因为在点X1与点X2的波幅永远相同,相干面积也为无穷值。

图7:一个波前不规则的波,相干长度与相干面积为有限值。

图8:一个波前不规则、相干长度与相干面积为有限值的波,入射于具有一条狭缝的档板。入射波穿过狭缝后,衍射出来的波,其空间相干性会增加。经过传播一段距离,在离狭缝较远处,圆形波前的波近似于平面波。相干面积变为无穷值,而相干长度不变。

图9:两个同样的波,在空间里传播。一个波是另外一个波的位移,两个波的相干长度与相干面积分别为无穷值。两个波的结合,在某些位置,会建设性干涉(干涉相涨),在另外一些位置,会摧毁性干涉(干涉相消)。经过空间平均,探测器所观察到的干涉图样,其干涉可见度会减低。例如,一个未校准的马赫-曾德尔干涉仪就会出现这种状况。

试想一个电灯泡钨丝,从其不同位置会独立地发射出毫无固定相位关系的光波。仔细观察,在任意时间,光波的剖面都毫无规律可言。每经过一段相干时间,光波的剖面都会机率性地变化。电灯泡是一个白光光源,相干时间很短,是一个空间不相干光源。

位于美国新墨西哥州的综合孔径射电望远镜甚大天线阵

电波望远镜天线阵的空间相干性很高,在天线阵对端的每两根天线所发射出的光波,彼此之间都有特别设计的固定相位关系。

雷射产生的光波的时间相干性与空间相干性通常都很高,其相干度依激光的性质而定。

全像摄影术的运作,需要时间相干与空间相干的光波。它的发明者,伽博·丹尼斯,在雷射还没有被发明前,就已经成功地做出全像图。他将水银灯的发射线激发出的单色光,通过针孔过滤器,制成全像摄影术所需要的相干光波。

2011年2月,物理学者发现,冷却至接近绝对零度氦原子,当变为玻色-爱因斯坦凝聚时,它们的物理行为会如同雷射发射出的相干光束一样。[12][13]

波谱相干性

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几个不同频率的波(在光学里,不同颜色的光波),假若是相干的,则会因相互干涉而形成一个脉冲波。
几个波谱不相干的波因相互干涉而形成的波,其相位与波幅都会随机变化。

不同频率的波(在光学里,不同颜色的光波),假若有固定的相对相位关系,则会因干涉而形成一个脉冲波(参阅傅里叶变换)。反过来说,假若不同频率的波是不相干的,则结合在一起它们会形成像白光白噪声一类的波。脉冲波的时间持续期被频宽限制,依据关系方程式:

这关系方程式也可以从傅里叶变换推导出。对于量子尺寸的粒子,这是海森堡不确定原理的必然结果。

测量光的波谱相干性,需要用到非线形光波干涉仪英语nonlinear optical interferometer,像辐照度相关器英语Intensity optical correlator频域分辨光学开关波谱相位干涉仪英语Spectral phase interferometry for direct electric-field reconstruction

量子相干性

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量子力学里,物质具有波动性(参阅德布罗意假说)。例如,杨氏双缝实验也可以用电子来完成。从电子源发射出的每一个电子可以穿过两条狭缝中的任何一条狭缝,因此,有两种抵达观察屏最终位置的方法可供选择。一种方法是将狭缝S1关闭,电子只能穿过狭缝S2;另一种方法是将狭缝S2关闭,电子只能穿过狭缝S1。每一种方法可以设定为一个特别的量子态。由于这两个量子态会相互干涉,因而影响电子抵达侦测屏最终位置的机率分布,也因此形成了观察屏的干涉图样。这相互干涉的能力展现出粒子的“量子相干性”。

假若,试图探测电子到底是经过哪一条狭缝。那么,两个量子态的相位关系会不再存在。这双态系统就会被退相干化。这现象显示出量子系统的互补性

大尺寸(宏观)量子相干会导致新颖奇异的现象,称为宏观量子现象英语macroscopic quantum phenomena。例如,雷射超导现象超流体等等,都是高度相干的量子系统,它们产生的效应可以在宏观尺寸观察到。超流体现象是玻色-爱因斯坦凝聚。所有组成凝聚的粒子都同相,可以用单独一个量子波函数来描述。

换另一方面,薛丁格猫思想实验强调,不能任意地将量子相干用在宏观案例。但是,物理学者于2009年成功地在机械共振器英语resonator的运动里观测到量子相干现象。[14]

参阅

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注释

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  1. ^ 1860年代,法国物理学者埃米尔·韦尔代英语Émile Verdet使用不相干光源重做杨氏干涉实验。他发现,只要两个针孔之间的距离小于0.05mm(太阳光的横向相干长度),就可以观察到干涉图样,从这狭缝衍射出的就是部分相干性光波。这实验开启了对于部分相干性质的研究。[4]:560

参考文献

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  1. ^ 存档副本. [2022-05-24]. (原始内容存档于2022-06-04). 
  2. ^ M.Born; E. Wolf. Principles of Optics 7th. Cambridge University Press. 1999: 256. ISBN 978-0-521-64222-4. 
  3. ^ 存档副本. [2024-01-24]. (原始内容存档于2024-01-24). 
  4. ^ Hecht, Eugene, Optics 4th, United States of America: Addison Wesley, 2002, ISBN 0-8053-8566-5 (英语) 
  5. ^ 5.0 5.1 George Bekefi; Alan H. Barrett. Electromagnetic Vibrations, Waves, and Radiation. The MIT Press. 1977: pp. 590ff. ISBN 0-262-52047-8. 
  6. ^ 6.00 6.01 6.02 6.03 6.04 6.05 6.06 6.07 6.08 6.09 6.10 Hecht, Eugene, Optics 4th, United States of America: Addison Wesley: pp. 457, 460, 2002, ISBN 0-8053-8566-5 (英语) 
  7. ^ M.Born; E. Wolf. Principles of Optics 7th ed. 1999. 
  8. ^ 8.0 8.1 Christopher Gerry; Peter Knight. Introductory Quantum Optics. Cambridge University Press. 2005. ISBN 978-0-521-52735-4. 
  9. ^ Peng, J.-L.; Liu, T.-A.; Shu, R.-H. Optical frequency counter based on two mode-locked fiber laser combs. Applied Physics B. 2008, 92 (4): 513. Bibcode:2008ApPhB..92..513P. doi:10.1007/s00340-008-3111-6. 
  10. ^ William T. Silfvast. Laser Fundamentals. Cambridge University Press. 12 January 2004. ISBN 978-0-521-83345-5. 
  11. ^ 11.0 11.1 Mandel, Leonard; Wolf, Emil. Optical Coherence and Quantum Optics illustrated, reprint. Cambridge University Press. 1995. ISBN 9780521417112. 
  12. ^ Hodgman, S. S.; Dall, R. G.; Manning, A. G.; Baldwin, K. G. H.; Truscott, A. G. Direct Measurement of Long-Range Third-Order Coherence in Bose-Einstein Condensates. Science. 2011, 331 (6020): 1046–1049. Bibcode:2011Sci...331.1046H. PMID 21350171. doi:10.1126/science.1198481. 
  13. ^ Pincock, S. Cool laser makes atoms march in time. ABC Science. ABC News Online. 25 February 2011 [2011-03-02]. (原始内容存档于2014-08-28). 
  14. ^ O'Connell, A. D.; Hofheinz, M.; Ansmann, M.; Bialczak, R. C.; Lenander, M.; Lucero, E.; Neeley, M.; Sank, D. & Wang, H. Quantum ground state and single-phonon control of a mechanical resonator. Nature. 2010, 464 (7289): 697–703. Bibcode:2010Natur.464..697O. PMID 20237473. doi:10.1038/nature08967.