规范形
数学和计算机科学中，数学对象的标准形、规范形是将该对象作为表达式呈现的标准方式。通常来说，它提供了对象的最简单的表示，并允许以独特的方式识别。“规范（canonical）”与“标准（normal）”的区别因领域而异，大多数时候规范形都规定了对象的唯一表示形式，而标准形则不要求唯一性。[1]
用小数表示，自然数的规范形是不以0开头的有限数字序列。更一般地说，对于定义了等价关系的一类对象，规范形包括每类中的特定对象。例如
在计算机科学与计算机代数中，在计算机中有很多方法表示同一个数学对象。这时，规范形是对每个对象都有唯一表示的表示法（典型化是将某种表示转换为规范形的过程。因此，测试两个对象的规范形是否相等，便可轻松地验证它们是否等价。 规范形经常依赖于任意选择（如变量排序），给测试两个对象是否等价的独立计算带来困难。因此，在计算机代数中，标准形是很弱的概念：标准形中，0的表示是唯一的，因此可以通过对两个对象作差、置于标准形中，来检验它们是否相等。
规范形也可以指以自然（规范）方式定义的微分形式。
定义
[编辑]给定对象集合S以及其上的等价关系R ，则指定S中的一些对象为“规范形”，这样所考虑的每个对象都等价于规范形的某个对象。换句话说S中的规范形代表一类等价类。要检验两个对象是否等价，只需检验其规范形是否等价。 因此，规范形提供了分类定理，还为类中的对象提供了代表形式。
形式上，集合S上等价关系R的规范化是一个映射c:S→S，对所有s、s1、s2 ∈ S：
- c(s) = c(c(s)) （幂等性）；
- s1 R s2，当且仅当c(s1) = c(s2) （决定性）；
- s R c(s) （代表性）。
性质3是冗余的：将性质2应用于性质1即可得出。
在实际应用中，能识别规范形往往是有利的。还有一个实际的算法问题需要考虑：如何将S中的给定对象s转换为规范形式s*？规范形一般用于更有效地运算等价类。例如，模算术中，同余类的规范形通常是其中的最小非负整数。类运算可以组合这些代表形，并将结果还原为最小非负余数。 唯一性要求有时会被放宽，允许形式在更精细的等价关系下是唯一的。
规范形可能只是惯例，也可能来自定理。例如，多项式在书写时通常按幂次递减：如x2 + x + 30，而非x + 30 + x2。相对地，矩阵的若尔当标准形来自定理。
示例
[编辑]大数记号
[编辑]数论
[编辑]- 正整数的规范表示
- 连分数的标准形
线性代数
[编辑]| 对象 | A等价于B的条件 | 规范形 | 注释 |
|---|---|---|---|
| 复数正规矩阵 | ，酉矩阵U | 对角矩阵（重排序） | 谱定理 |
| 复数矩阵 | ，酉矩阵U、V | 元素为正实数的对角阵（降序） | 奇异值分解 |
| 代数闭域矩阵 | ，非奇异方阵P | 若尔当标准形（块重排序） | |
| 代数闭域矩阵 | ，非奇异方阵P | 韦尔规范形（块重排序） | |
| 域矩阵 | ，非奇异方阵P | 弗罗贝尼乌斯标准形 | |
| 主理想域矩阵 | ，非奇异方阵P、Q | 史密斯标准形 | 可逆的基本行列变换不影响等价性 |
| 整数矩阵 | ，幺模矩阵U | 埃尔米特标准形 | |
| 整数模n矩阵 | 豪厄尔标准形 | ||
| 域K上的有限维向量空间 | A、B作为向量空间同构 | ，n为非负整数 |
代数
[编辑]| 对象 | A等价于B的条件 | 标准形 |
|---|---|---|
| 有限生成R-模，R为主理想域 | A、B作为R-模同构 | 初等分解（重排序）或不变因子分解 |
几何
[编辑]解析几何中：
- 直线方程：Ax + By = C，而 A2 + B2 = 1（C ≥ 0）
- 圆方程：
方程还有其他书写形式。例如，直线方程可以写作点斜式和斜截式的一次方程。
凸多胞形可以表示为标准形：
- 所有面都是平的；
- 所有边都与单位球面相切；
- 多面体的中心店位于原点。[3]
可积系统
[编辑]所有可微流形都有余切丛，总可以被赋予某种微分形式，称为重言1形式。这种形式使余切丛具有辛流形的结构，并允许流形上的向量场通过欧拉-拉格朗日方程或哈密顿力学进行积分，这种可积的微分方程系统称为可积系统。
动力系统
[编辑]动力系统研究与可积系统有所重合；在动力系统研究中，我们也有标准形的概念。
三维几何
[编辑]三维流形研究中，有第一基本形式、第二基本形式与第三基本形式。
函数分析
[编辑]| 对象 | A、B等价的条件 | 标准形 |
|---|---|---|
| 希尔伯特空间 | A、B均为有限维希尔伯特空间，则A、B保距同构。 | 数列空间（将索引集I换为另一个等势索引集的意义上） |
| 有单位（unit）的可交换C*-代数 | A、B作为C*-代数同构 | 紧豪斯多夫空间上的连续函数代数，与基空间同胚的意义上。 |
经典逻辑
[编辑]集合论
[编辑]改写系统
[编辑]改变公式的形式的符号操作称为公式的“改写”（rewriting）。可以研究可对公式进行有效操作的规则集合，以研究公式改写的抽象性质，也就是“改写规则”——抽象改写系统的一个部分。常见问题是，有没有可能将某些通用表达式变为一种单一的、通用的形式，即标准形。若不同的改写序列仍能得到相同的形式，则这种形式就可称为标准形，改写则称为汇合（confluent）。标准形不总可得。
λ演算
[编辑]- 若不能进行beta还原，则lambda项就是Beta范式；λ演算是抽象改写系统的一种特殊情况。例如，在无类型的lambda演算中，项没有标准形。在有类型的lambda演算中，每个形式良好的项都可改写为标准形。
图论
[编辑]图论中，图规范化是找到给定图G的规范形的过程。图的规范形是与G图同构的有标号图Canon(G)，这样，与G同构的图都具有与G相同的规范图，也就实现了图同构的判断。
计算 (计算机科学)
[编辑]在计算中，将数据还原为任一种规范形通常称为“数据规范化”（data normalization）。
例如，数据库规范化是对关系数据库的字段和数据库表进行调整，以尽量减少数据冗余与依赖的过程。[4] 在软件安全领域，常见的漏洞是未经检查的恶意输入（参见代码注入），解决方法是进行适当的数据确认。在进行输入验证之前，通常会通过消除编码（如HTML字符编码）和将其化为单一通用字符编码的方式进行正规化处理。 其他形式的数据（通常与信号处理，包括音频、图像，以及机器学习）也可以进行规范化处理，以将数值范围框定得有限。
在内容管理中适用单一信源（SSOT）的概念，与数据库规范化和软件开发相仿。功能强大的内容管理系统可以提供获取单一信源的合理方法，例如嵌入。
另见
[编辑]注释
[编辑]- ^ 有时“规范”与“标准”可以互换，如若尔当规范形与若尔当标准形（见MathWorks上的若尔当标准形 （页面存档备份，存于互联网档案馆））。
- ^ Big Numbers and Scientific Notation. Teaching Quantitative Literacy. [2019-11-20]. （原始内容存档于2023-03-26） （英语）.
- ^ Ziegler, Günter M., Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics 152, Springer-Verlag: 117–118, 1995, ISBN 0-387-94365-X
- ^ Description of the database normalization basics. support.microsoft.com. [2019-11-20]. （原始内容存档于2019-05-23）.
参考文献
[编辑]- Shilov, Georgi E., Silverman, Richard A. , 编, Linear Algebra, Dover, 1977, ISBN 0-486-63518-X.
- Hansen, Vagn Lundsgaard, Functional Analysis: Entering Hilbert Space, World Scientific Publishing, 2006, ISBN 981-256-563-9.