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五维正六胞体

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五维正六胞体
(6-超胞)
5-体
类型五维正多胞体
家族单纯形
维度5
对偶多胞形自身对偶
类比正四面体
数学表示法
考克斯特符号
英语Coxeter-Dynkin diagram
node_1 3 node 3 node 3 node 3 node 
node_1 3 node 3 node 3 node 2 node_1 
node_1 3 node 3 node 2 node_1 3 node 
node_1 3 node 3 node 2 node_1 2 node_1 
node_1 3 node 2 node_1 3 node 2 node_1 
node_1 3 node 2 node_1 2 node_1 2 node_1 
node_1 2 node_1 2 node_1 2 node_1 2 node_1 
施莱夫利符号{3,3,3,3}
{3,3,3}x{}
{3,3}x{1}
{3,3}x{}x{}
{3}x{3}x{}
{3}x{}x{}x{}
{}x{}x{}x{}x{}
性质
四维6 {4,3,3}
15 (3.3.3)
20 {3}
15
顶点6
特殊面或截面
皮特里多边形六边形
组成与布局
顶点图
正五胞体
对称性
对称群BC5, [3,3,3,3]
特性

五维正六胞体(Hexateron)或称正六超胞体(Hexateron)是3个五维凸正多超胞体之一,一种自身对偶的五维多胞体,是五维的单纯形,四维正五胞体、三维正四面体、二维正三角形的五维类比。由6个正五胞体胞、15个正四面体胞、20个正三角形面、15条棱、6个顶点组成。它的二超胞角是cos−1(1/5),约等于78.46°。正如其它维的正单纯形一样,正六超胞体可以被看作是正五胞体的棱锥,即正五胞体棱锥,它由一个正五胞体底面一个与正五胞体5个顶点距离都相等且等于正五胞体棱长的顶点相连而成,正五胞体的正四面体胞与顶点相连成为5个正四面体棱锥(即正五胞体)侧面。

几何性质

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正六超胞体的顶点处有5条棱相交,应此它的顶点图正五胞体,在它的棱处有4个正五胞体维脊相交,应此它的棱图正四面体。它有施莱夫利符号{3,3,3,3},考斯特-迪肯符号node_1 3 node 3 node 3 node 3 node ,它像其它正单纯形一样是自身对偶的。 对于一个边长为a的正六超胞体,其超胞积是,表胞积是,高是。 若一个正六超胞体的棱长为1,则其外接五维超球的半径为,内切五维超球的半径为


坐标系

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为了得到正六超胞体的顶点坐标,我们可以将其看作是由正五胞体和一个与正五胞体5个顶点距离都相等且等于正五胞体棱长的顶点相连而成。经过计算之后,我们便可将棱长为2,中心在五维直角坐标系原点的正六超胞体顶点坐标表示为:

如果我们将正六超胞体当作是位于六维直角坐标系中的超平面,则正六超胞体的顶点坐标可以简单地表示为(0,0,0,0,0,1)或者(0,1,1,1,1,1)的全排列,这样的正六超胞体实则是六维正轴体(前者)或者截半六维超正方体(后者)的一个表面。

对称群构造

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作为五维的正单纯形,一个五维凸正多超胞体,它具有A5考克斯特平面对应的对称群构造,对应施莱夫利符号{3,3,3,3},考斯特-迪肯符号node_1 3 node 3 node 3 node 3 node 。同时,它可被看作是四维正五胞体的棱锥,只具有A4对应对称性。

图像

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五维正六胞体可以以自身的对称性被平行投影到2维平面上:

正交投影
Ak
考克斯特平面英语Coxeter plane
A5 A4
图像
二面体对称群 [6] [5]
Ak
考克斯特平面英语Coxeter plane
A3 A2
图像
二面体对称群 [4] [3]

正六超胞体的五维到四维施莱格尔图像英语Schlegel diagram的四维到三维球极投影的三维到二维透视投影

相关链接

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参考文献

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  • T. GossetOn the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions,Messenger of Mathematics,Macmillan,1900
  • H.S.M.考克斯特
    • 考克斯特,Regular Polytopes,(第三版,1973),Dover edition,ISBN 0-486-61480-8,p.296,Table I (iii):Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n≥5)
    • H.S.M.考克斯特,Regular Polytopes,第三版,Dover New York,1973,p.296,Table I (iii):Regular Polytopes,three regular polytopes in n-dimensions (n≥5)
    • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter,editied by F. Arthur Sherk,Peter McMullen,Anthony C. Thompson,Asia Ivic Weiss,Wiley-Interscience Publication,1995,ISBN 978-0-471-01003-6 [1]页面存档备份,存于互联网档案馆
      • (第22页) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
      • (第23页) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
      • (第24页) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
  • John H. Conway,Heidi Burgiel,Chaim Goodman-Strass,The Symmetries of Things 2008,ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 26. pp. 409: Hemicubes: 1n1)
  • 诺曼·约翰逊英语Norman Johnson (mathematician) Uniform Polytopes,Manuscript (1991)
    • N.W.约翰逊: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs,Ph.D. (1966)
  • Klitzing, Richard. 5D uniform polytopes (polytera) x3o3o3o3o - hix. bendwavy.org. 
五维正多胞体
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{3,3,3,3} {4,3,3,3} {3,3,3,4}