盧卡斯-萊默質數判定法

數學中，盧卡斯-萊默檢驗法（英語：Lucas–Lehmer primality test）是檢驗梅森數的素性檢驗，是由愛德華·盧卡斯於1878年完善，德里克·亨利·萊默隨後於1930年代將其改進。

因特網梅森素數大搜索用這個檢驗法找到了不少很大的素數，最近幾個最大的素數就是這個項目發現的。由於梅森數比隨機選擇的整數更有可能是素數，因此他們認為這是一個極有用的方法。

方法

盧卡斯－萊默檢驗法原理是這樣：
令梅森數 M_p = 2^p− 1作為檢驗對象（預設p是素數，否則M_p就是合數了）。

定義序列{s_i }：所有的i ≥ 0

$s_{i}={\begin{cases}\;\;\,4\\s_{i-1}^{2}-2\end{cases}}$	，如果$\displaystyle i=0$；
	，如果$\displaystyle i>0$。

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這個序列的開始幾項是4, 14, 194, 37634, ... （OEIS數列A003010）

那麼M_p是素數當且僅當

$s_{p-2}\equiv 0{\pmod {M_{p}}};$

否則, M_p是合數。
s_{p − 2}模M_p的餘數叫做p的盧卡斯－萊默餘數。

例子

假設我們想驗證M₃ = 7是素數。我們從s=4開始，並更新3−2 = 1次，把所有的得數模7：

• s ← ((4×4) − 2) mod 7 = 0

由於我們最終得到了一個能被7整除的s，因此M₃是素數。

另一方面，M₁₁ = 2047 = 23×89就不是素數。我們仍然從s=4開始，並更新11−2 = 9次，把所有的得數模2047：

• s ← ((4×4) − 2) mod 2047 = 14
• s ← ((14×14) − 2) mod 2047 = 194
• s ← ((194×194) − 2) mod 2047 = 788
• s ← ((788×788) − 2) mod 2047 = 701
• s ← ((701×701) − 2) mod 2047 = 119
• s ← ((119×119) − 2) mod 2047 = 1877
• s ← ((1877×1877) − 2) mod 2047 = 240
• s ← ((240×240) − 2) mod 2047 = 282
• s ← ((282×282) − 2) mod 2047 = 1736

由於s最終仍未能被2047整除，因此M₁₁=2047不是素數。但是，我們從這個檢驗法仍然無法知道2047的因子，只知道它的盧卡斯-萊默餘數1736。

正確性的證明

我們注意到${\langle }s_{i}{\rangle }$是一個具有閉式解的遞推關係。定義$\omega =2+{\sqrt {3}}$及${\bar {\omega }}=2-{\sqrt {3}}$；我們可以用數學歸納法來驗證對於所有i，都有$s_{i}=\omega ^{2^{i}}+{\bar {\omega }}^{2^{i}}$：

$s_{0}=\omega ^{2^{0}}+{\bar {\omega }}^{2^{0}}=(2+{\sqrt {3}})+(2-{\sqrt {3}})=4$。

${\begin{array}{lcl}s_{n}&=&s_{n-1}^{2}-2\\&=&\left(\omega ^{2^{n-1}}+{\bar {\omega }}^{2^{n-1}}\right)^{2}-2\\&=&\omega ^{2^{n}}+{\bar {\omega }}^{2^{n}}+2(\omega {\bar {\omega }})^{2^{n-1}}-2\\&=&\omega ^{2^{n}}+{\bar {\omega }}^{2^{n}},\\\end{array}}$

最後一個步驟可從$\omega {\bar {\omega }}=(2+{\sqrt {3}})(2-{\sqrt {3}})=1$推出。在兩個部分中，我們都將用到這個結果。

充分性

我們希望證明$s_{p-2}\equiv 0{\pmod {M_{p}}}$意味着$M_{p}$是素數。我們敘述一個利用初等群論的證明，由J. W.布魯斯給出。

假設$s_{p-2}\equiv 0{\pmod {M_{p}}}$。那麼對於某個整數k，有$\omega ^{2^{p-2}}+{\bar {\omega }}^{2^{p-2}}=kM_{p}$，以及：

${\begin{array}{rcl}\omega ^{2^{p-2}}&=&kM_{p}-{\bar {\omega }}^{2^{p-2}}\\\left(\omega ^{2^{p-2}}\right)^{2}&=&kM_{p}\omega ^{2^{p-2}}-(\omega {\bar {\omega }})^{2^{p-2}}\\\omega ^{2^{p-1}}&=&kM_{p}\omega ^{2^{p-2}}-1.\quad \quad \quad \quad \quad (1)\\\end{array}}$

現在假設M_p是合數，其非平凡素因子q > 2（所有梅森素數都是奇數）。定義含有q²個元素的集合$X=\{a+b{\sqrt {3}}|a,b\in \mathbb {Z} _{q}\}$，其中$\mathbb {Z} _{q}$是模q的整數，是一個有限域。X中的乘法運算定義為：

$(a+b{\sqrt {3}})(c+d{\sqrt {3}})=[(ac+3bd){\hbox{ mod }}q]+[(bc+ad){\hbox{ mod }}q]{\sqrt {3}}$.

由於q > 2，因此$\omega$和${\bar {\omega }}$位於X內。任何兩個位於X內的數的乘積也一定位於X內，但它不是一個群，因為不是所有的元素x都有逆元素y，使得xy = 1。如果我們只考慮有逆元素的元素，我們便得到了一個群X*，它的大小最多為$q^{2}-1$（因為0沒有逆元素）。

現在，由於$M_{p}\equiv 0{\pmod {q}}$，且$\omega \in X$，我們有$kM_{p}\omega ^{2^{p-2}}=0$，根據方程(1)可得$\omega ^{2^{p-1}}=-1$。兩邊平方，得$\omega ^{2^{p}}=1$，證明了$\omega$是可逆的，其逆元素為$\omega ^{2^{p}-1}$，因此位於X*內，它的目能整除$2^{p}$。實際上，這個階必須等於$2^{p}$，因為$\omega ^{2^{p-1}}\neq 1$，因此這個階不能整除$2^{p-1}$。由於群元素的階最多就是群的大小，我們便得出結論，$2^{p}\leq q^{2}-1<q^{2}$。但由於q是$M_{p}$的一個非平凡素因子，我們必須有$q^{2}\leq M_{p}=2^{p}-1$，得出矛盾$2^{p}<2^{p}-1$。因此$M_{p}$是素數。

必要性

我們假設$M_{p}$是素數，欲推出$s_{p-2}\equiv 0{\pmod {M_{p}}}$。我們敘述一個Öystein J. R. Ödseth的證明。首先，注意到3是模 M_p的二次非剩餘，這是因為對於奇數p > 1，2 ^p − 1隻取得值7 mod 12，因此從勒讓德符號的性質可知$(3|M_{p})$是−1。根據歐拉準則，可得：

$3^{(M_{p}-1)/2}\equiv -1{\pmod {M_{p}}}$.

另一方面，2是模$M_{p}$的二次剩餘，這是因為$2^{p}\equiv 1{\pmod {M_{p}}}$，因此$2\equiv 2^{p+1}=\left(2^{(p+1)/2}\right)^{2}{\pmod {M_{p}}}$。根據歐拉準則，可得：

$2^{(M_{p}-1)/2}\equiv 1{\pmod {M_{p}}}$.

接着，定義$\sigma =2{\sqrt {3}}$，並像前面那樣，定義X*為$\{a+b{\sqrt {3}}|a,b\in \mathbb {Z} _{M_{p}}\}$的乘法群。我們將用到以下的引理：

$(x+y)^{M_{p}}\equiv x^{M_{p}}+y^{M_{p}}{\pmod {M_{p}}}$

（根據費馬小定理），以及

$a^{M_{p}}\equiv a{\pmod {M_{p}}}$

對於所有整數a（費馬小定理）。

那麼，在群X*中，我們有：

${\begin{array}{lcl}(6+\sigma )^{M_{p}}&=&6^{M_{p}}+(2^{M_{p}})({\sqrt {3}}^{M_{p}})\\&=&6+2(3^{(M_{p}-1)/2}){\sqrt {3}}\\&=&6+2(-1){\sqrt {3}}\\&=&6-\sigma .\end{array}}$

簡單計算可知 $\omega =(6+\sigma )^{2}/24$。我們可以用這個結果來計算群X*中的$\omega ^{(M_{p}+1)/2}$：

${\begin{array}{lcl}\omega ^{(M_{p}+1)/2}&=&(6+\sigma )^{M_{p}+1}/24^{(M_{p}+1)/2}\\&=&(6+\sigma )^{M_{p}}(6+\sigma )/(24\times 24^{(M_{p}-1)/2})\\&=&(6-\sigma )(6+\sigma )/(-24)\\&=&-1.\end{array}}$

其中我們用到了以下的事實：

$24^{(M_{p}-1)/2}=(2^{(M_{p}-1)/2})^{3}(3^{(M_{p}-1)/2})=(1)^{3}(-1)=-1$。

由於$M_{p}\equiv 3{\pmod {4}}$，我們還需要做的就是把方程的兩邊乘以${\bar {\omega }}^{(M_{p}+1)/4}$，並利用$\omega {\bar {\omega }}=1$：

${\begin{array}{rcl}\omega ^{(M_{p}+1)/2}{\bar {\omega }}^{(M_{p}+1)/4}&=&-{\bar {\omega }}^{(M_{p}+1)/4}\\\omega ^{(M_{p}+1)/4}+{\bar {\omega }}^{(M_{p}+1)/4}&=&0\\\omega ^{(2^{p}-1+1)/4}+{\bar {\omega }}^{(2^{p}-1+1)/4}&=&0\\\omega ^{2^{p-2}}+{\bar {\omega }}^{2^{p-2}}&=&0\\s_{p-2}&=&0.\\\end{array}}$

由於s_p−2是整數，且在X*內是零，因此它也是零mod M_p。

參見

• 梅森素數
• 因特網梅森素數大搜索（GIMPS）
• 新梅森猜想
• 埃拉托斯特尼篩法
• 米勒-拉賓檢驗
• 試除法
• 費馬素性檢驗
• 盧卡斯-萊默檢驗法
• 孿生素數
• 三胞胎素數
• 四胞胎素數
• 素數判定法則
• 表兄弟素數
• 六素數
• X²+1素數

參考文獻

• Richard Crandall and Carl Pomerance. Prime Numbers: A Computational Perspective 1st edition. Springer. 2001. ISBN 978-0-387-94777-8.  引文格式1維護：冗餘文本 (link) Section 4.2.1: The Lucas–Lehmer test, pp.167–170.

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. 卢卡斯-莱默检验法. MathWorld. 
• GIMPS (The Great Internet Mersenne Prime Search)（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• A proof of Lucas–Lehmer–Reix test (for Fermat numbers) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Lucas–Lehmer test at MersenneWiki