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開普勒三角

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開普勒三角形是特殊的直角三角形,它的三邊之比等於,其中黃金比.德國數學家天文學家開普勒最早提出三邊滿足此比例的三角形。這種三角形將黃金比的性質與勾股定理巧妙地結合在了一起.

開普勒三角形

與代數的關係

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給定兩個正實數a、b,若他們的算術平均數幾何平均數調和平均數能夠構成一個直角三角形,那麼這個直角三角形一定是開普勒三角形。

作開普勒三角形

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開普勒三角形可通過尺規作圖法作出。方法是先作出黃金矩形

通過黃金矩形,用尺規作圖作開普勒三角
  1. 用尺規作圖法作一個正方形
  2. 作出其中一邊的中點
  3. 連接這一中點與與之相對的正方形的頂點
  4. 以這一中點為圓心,已作出的線段的長為半徑作弧。並作出長方形的長邊。
  5. 補全作出的黃金矩形
  6. 以黃金矩形的一個頂點為圓心,一條長邊的長為半徑作弧交另一長邊於一點,連接該點與頂點,即作出了開普勒三角形。

數學巧合

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正方形和圓的圖
正方形和圓的周長近似相等

若繪製一個三邊為的開普勒三角形,並且考慮

  • 其外接圓
  • 邊長等於(三角形中數值介於中間的邊長)的正方形

則正方形的周長)和圓的周長()相當接近,誤差小於0.1%。

這是因為數學巧合,上述的圓和正方形其周長不可能相同,若是相同,就可以求解化圓為方的不可能問題了。換句話說,因為超越數

一些資料指出,埃及金字塔設計時有用到開普勒三角[1][2]。不過古埃及人可能不知道有關和黃金比例之間的數學巧合[3]

參考資料

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  1. ^ Squaring the circle, Paul Calter. [2016-12-28]. (原始內容存檔於2011-09-02). 
  2. ^ The Great Pyramid, The Great Discovery, and The Great Coincidence, Mark Herkommer, June 24, 2008 (Web archive)
  3. ^ Markowsky, George. Misconceptions about the Golden Ratio (PDF). College Mathematics Journal (Mathematical Association of America). January 1992, 23 (1): 2–19. JSTOR 2686193. doi:10.2307/2686193. (原始內容存檔 (PDF)於2020-12-11). It does not appear that the Egyptians even knew of the existence of φ much less incorporated it in their buildings 

參見

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