積範疇

  此條目介紹的是範疇之間的運算。關於範疇內物件的運算，請見「積 (範疇論)」。

數學分支範疇論中，兩個範疇${\mathcal {C,D}}$之積，是集合的笛卡兒積的延申。乘積以${\mathcal {C\times D}}$表示，其結果又稱積範疇（英語：product category）。定義雙函子及多函子時，要用到積範疇。

定義

積範疇${\mathcal {C\times D}}$的組成部分有：

• 物件，為

  有序對$(A,B)$，其中$A$是${\mathcal {C}}$的物件，而$B$是${\mathcal {D}}$的物件；

• 態射，由物件$(A_{1},B_{1})$至物件$(A_{2},B_{2})$的態射為：

  有序對$(f,g)$，其中$f:A_{1}\to A_{2}$是${\mathcal {C}}$的態射，$g:B_{1}\to B_{2}$是${\mathcal {D}}$的態射；

• 態射間的複合運算，是逐個分量的複合：

  $(f_{2},g_{2})\circ (f_{1},g_{1})=(f_{2}\circ f_{1},g_{2}\circ g_{1});$

• 物件上的恆等態射，由各分量上的恆等態射組成：

  $1_{(A,B)}=(1_{A},1_{B}).$

與其他概念的關係

兩個小範疇之積，是其作為小範疇範疇$\mathbf {Cat}$的物件的乘積。定義域為積範疇的函子，也稱為雙函子。重要例子有Hom函子，其定義域為某範疇${\mathcal {C}}$及其對偶範疇${\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }$之積：

$\mathrm {Hom} :{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\times {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} .$

多個範疇之積

正如二元笛卡兒積可以推廣到n元笛卡兒積，範疇的二元積亦同樣可以推廣到$n$元積。若不別同構之異，則二元範疇積可交換及可結合，故此$n$元推廣在理論上並無定義額外的新事物。

參考文獻

來源

• Definition 1.6.5 in Borceux, Francis. Handbook of categorical algebra [範疇代數手冊]. Encyclopedia of mathematics and its applications 50-51, 53 [i.e. 52]. Volume 1. Cambridge University Press. 1994: 22. ISBN 0-521-44178-1 （英語）. 
• nLab的Product category條目
• Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician [數學家的範疇論] Second. New York, NY: Springer New York. 1978: 49–51. ISBN 1441931236. OCLC 851741862 （英語）.